Лр №8

Задача 8.3. Вычислить значение интеграла, используя квадратурную формулу

Гаусса с указанным в индивидуальном варианте числом узлов. Определить абсолютную погрешность результата. Убедиться, что квадратурные формулы Гаусса с N+1 (N=0,1,2,3) узлом точны для многочленов 1, t,…,t^m, m=2N+1.

№	f(t)	a	b	Число узлов
8.3.13		0	4	4

Теория:

Квадратурная формула , построенная интегрированием интерполяционного многочлена степени N с фиксированными узлами x , x , …, x , точна для всех многочленов степени N. Однако, если имеется свобода в выборе узлов, то можно распорядиться ею так, чтобы получить формулу, точную для всех многочленов некоторой степени, превышающей N.

Поставим следующую задачу: при заданном числе N+1 узлов построить квадратурную формулу, точную для многочленов наиболее высокой степени. Формулы, удовлетворяющие этому условию, принято называть квадратурными формулами Гаусса. Как правило, сначала строят формулы Гаусса

Для стандартного отрезка [-1,1]. Заметим, что эта формула точна для многочленов степени m тогда и только тогда, когда она точна для функции f(t) = 1, t, t , …, t . Это эквивалентно тому что узлы t и веса a должны удовлетворять системе нелинейных уравнений

Затем с помощью замены переменной x=

осуществляют переход к формулам интегрирования на произвольном отрезке:

Заметим, что формула точна для многочленов степени m тогда и только тогда, когда она точна для функции f(t) = 1, t, t , …, t . Это эквивалентно тому, что узлы t и веса a должны удовлетворять системе нелинейных уравнений

Можно показать, что система имеет единственное решение a , a , …, a , t , t , …, t (причем, t [-1,1]) тогда и только тогда, когда число уравнений системы совпадает с числом неизвестных, т.е. при m=2N+1.

Для квадратурной формулы Гаусса справедлива следующая оценка погрешности:

Входящий в неё коэффициент очень быстро убывает с ростом N . Приведём, например несколько первых его значений:

Можно было бы разбить отрезок интегрирования на частичные отрезки и, исходя из формулы Гаусса, построить составную формулу, имеющий порядок точности 2N+2. Однако при интегрировании достаточно гладких функций в этом нет необходимости, так как уже при небольшом числе узлов (4<N<10) формула Гаусса обеспечивает очень высокую точность. На практике используются и формулы с десятками и сотнями узлов.

Узлы и веса:

	Число узлов 1	Число узлов 2	Число узлов 3	Число узлов 4
	0
	2	1
		1	0

Квадратурные формулы Гаусса обладают ещё одним замечательным свойством: их весомые коэффициенты всегда положительны. Это свойство гарантирует хорошую обусловленность квадратурной формулы. Более того, число обусловленности равно b-a и не зависит от числа узлов. Это позволяет применять на практике квадратурные формулы Гаусса с числом узлов, достигающем сотен.

Решение:

_{- абсолютная погрешность}

Убедимся, что квадратурные формулы Гаусса с N+1 (N=0,1,2,3) узлом точны для многочленов 1, t,…,t^m, m=2N+1:

- т.е. для 8ой степени уже не вып-ся