4º. Ускорения точек твердого тела при сферическом движении
Ускорение любой точки твердого тела определяется по формуле Ривальса. На сферическом движении эта формула принимает вид:
,
где
—
вектор
мгновенного углового
ускорения,
—
вращательное ускорение точки
твердого тела,
—
осестремительное ускорение точки
твердого тела.
Положим
,
где
— орт мгновенной оси вращения. Тогда
вектор углового ускорения можем
представить в следующей форме
.
Обозначим
— угловое
ускорение вокруг мгновенной оси
вращения,
— угловое
ускорение, возникающее из-за
изменения направления орта мгновенной
оси вращения.
В этих обозначениях формула для вращательного ускорения приобретает вид:
.
Из нее следует, что вращательное ускорение при сферическом движении твердого тела не совпадает с при вращении твердого тела вокруг мгновенной оси вращения (напомним, что именно на этой оси точки твердого тела имеют скорость, равную нулю).
Обратимся
теперь к вектору
(см. рис. 3.13.3).
Рис. 3.13.3
Формула для ускорения приводится к следующей форме:
,
т.е. при сферическом движении совпадает с осестремительным ускорением точки, которое она имеет при вращении вокруг неподвижной оси, если за неподвижную ось взять мгновенную ось вращения с направляющим ортом .
5º. Теорема Эйлера-Даламбера
Пусть
известна ориентация твердого тела в
моменты времени
и
.
Справедлива
следующая теорема.
Теорема 3 (Эйлера-Даламбера)
При сферическом движении произвольное положение твердого тела, заданное в момент , можно получить из заданного в момент начального положения одним поворотом вокруг неподвижной оси, проходящей через неподвижную точку , на некоторый угол .
Доказательство теоремы можно найти, например, на стр.52-53 учебника: Маркеев А.П. Теоретическая механика, Москва: ЧеРо, 1999г., 572с.