§12. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

1º. Структура матрицы ориентации твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси

В настоящем параграфе будем отождествлять твердое тело со всем пространством, определяемым связанной системой координат.

Рассмотрим группу движений твердого тела, называемую вращением твердого тела вокруг неподвижной оси.

Определение 1

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси на промежутке времени  называется такое движение, при котором две точки тела имеют скорость, равную нулю при всех , а вектор (;/0 при .

Прямая, проходящая через указанные две точки, называется осью вращения твердого тела.

В §9,п.3º в следствии 6 из формулы Эйлера рассматривалось движение твердого тела, называемое мгновенным вращением вокруг неподвижной оси. Для него были доказаны следующие свойства, указанные в формулировке следствия.

Следствие 6

Если в момент времени  скорости двух точек и твердого тела равны нулю, то:

1. все точки прямой, проходящей через них, имеют скорость, равную нулю;

2. вектор мгновенной угловой скорости твердого тела коллинеарен этой прямой или равен нулю;

3. тело совершает мгновенное вращение вокруг неподвижной оси или находится в мгновенном покое.

Обратимся к вращательному движению твердого тела вокруг неподвижной оси.

Свойства движения, доказанные в следствии 6, выполняются только в тот момент времени, когда две точки твердого тела имеют скорости, равные нулю.

Согласно определению 1, при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси указанное условие выполняется не в один какой–либо момент времени, а при всех . Поэтому на основании утверждений следствия 6 делаем следующие заключения, справедливые для всех при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси:

• все точки, лежащие на оси вращения, имеют скорость, равную нулю.

• вектор мгновенной угловой скорости твердого тела коллинеарен оси вращения.

Иначе говоря, если обозначим через орт оси вращения, то на всем промежутке времени  этот орт будет сохранять свое направление в абсолютном пространстве и в теле. Вектор коллинеарен орту  , так что будут иметь место равенства

для .

Теорема

Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, то существует такая система отсчета и связанная система , что матрица ориентации будет иметь вид:

. (3.12.1)

При этом вектор мгновенной угловой скорости твердого тела связан со скоростью изменения угла  соотношением

, (3.12.2)

где и — орты осей и , соответственно.

Доказательство

Первое утверждение теоремы доказывается с помощью подходящего выбора абсолютной системы отсчета и связанной системы координат.

Возьмем в качестве точки отсчета  любую точку на оси вращения. Ось неподвижна и в теле, и в абсолютном пространстве. Поэтому точку можем считать полюсом абсолютной и связанной систем координат.

В качестве орта (орта оси  ) берем орт направляющего вектора оси  .

В качестве орта  (орта оси  ) берем тот же орт  . Это возможно, поскольку, как отмечено выше, ось вращения неподвижна в теле и в абсолютном пространстве.

Тогда при движении твердого тела будет выполняться тождество

при всех .

В качестве ортов и берем два взаимно ортогональных орта, фиксированные в абсолютном пространстве и ортогональные оси вращения, причем — правая тройка векторов.

В качестве ортов берем орты, неподвижные в теле, взаимно ортогональные и ортогональные оси вращения, так что — правая тройка векторов.

Покажем, что матрица ориентации выбранной связанной системы координат имеет вид (3.12.1).

Поскольку и совпадают при всех , то матрица ориентации системы будет иметь вид

, (3.12.3)

причем, элементы при всех удовлетворяют тождествам

(3.12.4)

Положим в (3.12.4):

, (3.12.5)

где — угол, принимающий значения из промежутка .

При такой замене элементов матрицы ориентации тождества (3.12.4) будут выполняться при любых  для любых  .

Обратно, если знаем элементы , то угол  будет однозначно определен по этим элементам из соотношений (3.12.5).

Подстановка зависимостей (3.12.5) элементов , , от угла в матрицу (3.12.3) приводит к выражению (3.12.1) для матрицы . Первое утверждение теоремы доказано.

Докажем второе утверждение — справедливость формулы (3.12.2):

. (3.12.2)

Из вида (3.12.1) матрицы

(3.12.1)

можем записать

, . (3.12.6)

По определению вектора имеем

. (3.12.7)

Дифференцируем (3.12.6) по с учетом того, что при движении твердого тела угол является дифференцируемой функцией времени. Получим

,

.

Кроме того, из тождества следует, что . Подставляя в (3.12.7) полученные значения векторов , и , придем к соотношению (3.12.2):

.

Теорема доказана.

Замечания

1. Обозначим . Как следует из (3.12.2)

, (3.12.2)

, и справедливы неравенства при и при .

Величина является скоростью изменения угла . Поэтому вектор  , построенный при изучении вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, получил название вектор мгновенной угловой скорости.

Такое же название дано тому вектору , который вычисляется по формуле (3.12.7)

(3.12.7)

на движениях тела, отличных от вращения вокруг неподвижной оси, а также на движениях других механических систем и подвижных систем координат.

Однако следует заметить, что при рассмотрении движений общего характера данное название вектора нельзя увязывать с существованием какого-либо угла, по скорости изменения которого можно было бы судить о модуле этого вектора.

2. Из доказательства теоремы следует, что твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы.

Действительно, положение любой точки  твердого тела относительно фиксированной точки , находящейся на оси вращения, определяется по формуле .

Здесь — положение точки  в связанной системе координат.

Как показано в теореме, матрица ориентации  полностью определена в любой момент времени , если в этот момент известен угол поворота твердого тела вокруг неподвижной оси. Таким образом, для определения положения тела необходимо и достаточно знать одну угловую координату .

Следствие

Вектор углового ускорения при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси коллинеарен оси вращения и задается формулой

.

Справедливость утверждения следует из понятия вектора мгновенного углового ускорения.