2.3. Теорема Пуансо о движении аксоидов

При изменении времени  все точки неподвижного аксоида сохраняют свои положения в абсолютном пространстве. Однако точки мгновенной оси вращения изменяют свое положение на этом аксоиде и, тем самым, совершают движение в пространстве  .

Данное утверждение следует из того, что направляющим вектором мгновенной оси вращения является вектор мгновенной угловой скорости  , проекции  которого на координатные оси  зависят от времени  .

Подвижный аксоид при изменении времени  в общем случае меняет свою ориентацию в абсолютном пространстве, поскольку меняет ориентацию связанная с ним система координат  .

Мгновенная ось вращения совершает в абсолютном пространстве так называемое сложное движение. Оно вызвано, прежде всего, тем, что подвижный аксоид движется в абсолютном пространстве и, тем самым, мгновенная ось движется вместе с ним.

Кроме того, сама мгновенная ось движется по подвижному аксоиду, поскольку проекции  на подвижные оси  ее направляющего вектора  также меняют свои значения при изменении времени  .

Вопрос о связи движения подвижного аксоида с неподвижным при сферическом движении твердого тела был изучен Пуансо, и результат сформулирован в виде следующей теоремы, которую приведем здесь без доказательства.

Теорема 2 (Пуансо)

При сферическом движении подвижный аксоид катится по неподвижному без проскальзывания; при этом в каждый момент времени подвижный и неподвижный аксоиды касаются друг друга в точках мгновенной оси вращения.

3º. Скорости точек твердого тела при сферическом движении

Скорости точек твердого тела определяются по формуле Эйлера

. (3.13.7)

Эта формула имеет тот же вид, что и для скорости точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Однако существенным отличием ее применения для определения скоростей являются следующие свойства указанных движений:

• при вращении вокруг неподвижной оси — вектор  при всех  коллинеарен оси вращения, которая не изменяет свою ориентацию в абсолютном пространстве,

• при сферическом движении — вектор  коллинеарен мгновенной оси вращения, но эта ось может изменять свою ориентацию в абсолютном пространстве.

Поэтому при сферическом движении, как и при вращении вокруг неподвижной оси, каждая точка твердого тела имеет мгновенную скорость, совпадающую по величине с ее круговой скоростью, т.е. со скоростью, которую она имела бы при круговом движении, совершаемом ею при вращении вокруг оси, совпадающей с мгновенной осью вращения.

Угловая скорость кругового движения при таком вращении совпадает с вектором  .

Однако в отличие от вращения вокруг неподвижной оси, на сферическом движении плоскость кругового движения точки при изменении  не будет занимать неизменное положение в абсолютном пространстве.

Она будет менять свою ориентацию в нем вместе с изменением ориентации мгновенной оси вращения, и менять свое положение в пространстве вместе с этой осью и материальной точкой.

Из формулы (3.13.7)

(3.13.7)

следует, что при решении практических задач, связанных с построением скоростей точек твердого тела, можно поступить следующим образом:

• определить вектор ;

• затем построить мгновенную ось вращения.

Она проходит через неподвижную точку  и коллинеарна вектору  .

Далее, для построения мгновенных скоростей точек твердого тела применять все те приемы, которые разработаны для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, считая, что неподвижной является построенная мгновенная ось вращения.