§13. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки
1º. Мгновенная ось вращения
Определение 1
Если твердое тело имеет одну точку, неподвижную при всех , и не имеет ни одной другой точки с этим свойством, то такая группа движений называется вращением твердого тела вокруг неподвижной точки.
В данном определении, как всегда, обозначает промежуток времени, на котором рассматривается движение твердого тела.
В определении 1 исключаются ситуации, когда хотя бы одна точка твердого тела, отличная от указанной в определении, имеет равную нулю скорость при всех . В противном случае имеет место вращение твердого тела вокруг неподвижной оси или твердое тело находится в покое.
Неподвижную точку обозначим и примем за точку отсчета в абсолютной и связанной системах координат. Тогда по определению жесткой системы для любой точки твердого тела выполняется тождество
.
Это означает, что любая точка твердого тела остается на сфере постоянного радиуса с центром в неподвижной точке.
А потому такое движение по-другому называется сферическим движением твердого тела.
Теорема 1
При сферическом движении в твердом теле можно указать прямую, все точки которой будут иметь мгновенную скорость, равную нулю.
Доказательство
По формуле Эйлера любая точка тела при вращении вокруг неподвижной точки имеет скорость
, (3.13.1)
где
— это положение точки
относительно точки отсчета
в момент времени
.
Оно
может задаваться как вектором 
с координатами
в связанной системе, и тогда эти координаты
будут постоянны, так и вектором 
с координатами
в абсолютной системе, и тогда эти
координаты будут функциями времени,
причем
,
где
— матрица ориентации.
Положим
в (3.13.1)
(в фиксированный момент времени
).
В таком случае из (3.13.1) вытекает
(3.13.2)
для
любого
.
Если
рассматривать соотношение (3.13.2)
в абсолютном пространстве, то следует
положить в нем
.
Вектор
следует считать заданным своими
координатами в абсолютной системе.
При
фиксированном значении времени
и произвольных значениях
соотношение (3.13.2) задает в абсолютном
пространстве параметрическое уравнение
прямой, проходящей через неподвижную
точку
.
Каждая такая прямая является геометрическим местом тех положений в абсолютном пространстве точек твердого тела, в которых они (точки ) имеют скорость, равную нулю в момент времени .
Если
рассматривать равенство (3.13.2)
применительно к векторам
,
задаваемым в подвижном пространстве
(в системе
,
связанной с твердым телом), то в (3.13.2)
следует положить
.
Тогда и вектор угловой скорости
должен рассматриваться в проекциях на
связанные оси.
В таком случае при фиксированном значении времени соотношение(3.13.2)
(3.13.2)
является параметрическим уравнением прямой в связанной системе.
Оно задает положения в теле всех тех его точек , которые в момент имеют скорость, равную нулю. Теорема доказана.
Определение 2
Прямая, проходящая через точку , все точки которой в фиксированный момент времени имеют скорость , называется мгновенной осью вращения твердого тела.
Как следует из доказательства теоремы, ее уравнение в векторной форме имеет вид (3.13.2).