Глава 3. Кинематика твердого тела
§11. Поступательное движение твердого тела
Определение 1
Поступательным
движением твердого тела на промежутке
времени
называется такое его движение, при
котором выполняется
тождество
при
. (3.11.1)
11.1. Основные свойства поступательного движения твердого тела
Пусть твердое тело совершает поступательное движение. Тогда из формул Эйлера и Ривальса с учетом тождества (3.11.1) вытекают следующие свойства скоростей и ускорений точек твердого тела.
Скорости
всех точек твердого тела одинаковы по
величине и направлению и совпадают со
скоростью
полюса связанной системы.
Ускорения
всех точек твердого тела одинаковы по
величине и направлению и совпадают с
ускорением
полюса связанной системы.
Любая матрица ориентации твердого тела остается постоянной во все время движения.
Третье свойство выводится из уравнений Эйлера
.
Действительно, поскольку , то
и
.
Отсюда следует, что матрица ориентации постоянна.
На основе этих свойств выведем свойства перемещений точек твердого тела.
11.2. Свойства перемещений точек твердого тела при поступательном движении
Пусть 
и 
— две точки твердого тела.
Определение 2
Вектор
называется перемещением точки
относительно точки
в момент времени 
,
или иначе, отклонением точки
от точки
в момент времени
.
Определение 3
Вектор
называется перемещением точки
за время
вдоль
движения точки
:
.
В определениях
2 и 3
и 
обозначают радиус-векторы точек
и
относительно заданной неподвижной
точки отсчета 
,
соответственно:
,
.
Здесь
обозначает точку отсчета.
Из равенства скоростей точек и при поступательном движении твердого тела можем сделать следующие выводы.
Следствие 1
Отклонение точки от точки твердого тела остается постоянным на его поступательном движении, т.е.
при
.
Доказательство
По определению отклонения имеем
,
где
, 
— движения точек
и
,
соответственно.
Дифференцируя это равенство по , и учитывая, что на поступательном движении твердого тела скорости любых его точек одинаковы
,
получим 
.
Отсюда
следует
.
Следствие 1 доказано.
Следствие 2
Перемещение точки относительно своего начального положения за время совпадает по величине и направлению с перемещением точки относительно своего начального положения за то же время, т.е.
.
Иначе говоря, перемещения всех точек твердого тела за время одинаковы по величине и направлению.
Доказательство
Поскольку
,
то отсюда, интегрируя, находим:
,
.
Вычитая,
получаем
.
Что и требовалось доказать.
На основании следствий 1 и 2 можем сделать следующие выводы.
Отрезок
,
соединяющий две точки твердого тела,
перемещается параллельно самому себе,
ибо
,
.
Геометрически, свойство 1 показано на рисунке 3.11.1. На нем условно обозначены:
,
—
положение точек
и
в момент времени 
;
и
—
положение точек
и
в момент времени
;
,
,
,
- перемещения этих точек.
Рис. 3.11.1
Как видно из рисунка, согласно свойству 1 перемещения образуют параллелограмм.
2. При поступательном движении твердого тела положение любых его точек в любой момент можно вычислить через положение какой-либо одной точки тела, известное в момент , и положение тела относительно точки , заданное в какой-либо фиксированный момент времени .
Доказательство
Действительно, поскольку
,
то в соответствии со следствием 1 получаем
.
Утверждение доказано.