1º. Система векторных уравнений типа Эйлера-Пуассона
Рассмотрим
следующую систему векторных уравнений
относительно неизвестного вектора 
:
,
,
.
(3.8.1)
Систему уравнений (3.8.1) будем называть уравнениями типа Эйлера-Пуассона. В ней:
а)
— заданная правая ортонормированная
тройка векторов, так что
,
,
,
,
; (3.8.2)
б)
— произвольные векторы.
Установим, каким условиям должны удовлетворять векторы , чтобы существовало решение системы (3.8.1).
Справедлива следующая лемма.
Лемма 1
Для того чтобы существовало решение системы уравнений (3.8.1), необходимо и достаточно, чтобы векторы удовлетворяли следующим условиям:
,
; (3.8.3)
,
,
. (3.8.4)
Доказательство. Необходимость
Пусть существует решение системы (3.8.1)
, , . (3.8.1)
Тогда
из
-
го,
,
равенства для этого решения умножением
скалярно на орт
получаем
, ,
т.е. справедливо условие (3.8.3):
, ; (3.8.3)
Умножая
скалярно
-
ое равенство на орт
,
а
–
ое равенство на орт
,
,
и учитывая, что
,
получаем справедливость условий (3.8.4)
, , . (3.8.4)
Достаточность
Пусть условия (3.8.3), (3.8.4) выполняются. Умножим векторно слева первое равенство в системе (3.8.1)
, , . (3.8.1)
на
,
второе — на
,
третье — на орт
,
и сложим. Получим при умножении
-
го равенства на орт
.
Просуммируем данные равенства по значениям индекса от 1 до 3.
(3.8.5)
В квадратных скобках получили разложение вектора по ортогональному ортонормированному базису .
Поэтому
.
Подставляя
в (3.8.5), получим
,
или иначе,
. (3.8.6)
Покажем, что при выполнении условий (3.8.3), (3.8.4)
, ; (3.8.3)
, , . (3.8.4)
система уравнений (3.8.1) совместна. Для этого достаточно показать, что формула (3.8.6)
. (3.8.6)
действительно задает решение данной системы.
Подставим (3.8.6) в первое уравнение системы (3.8.1)
, , . (3.8.1)
Справа получим
.
Применяя формулу двойного векторного произведения, получим
.
Учитывая условия (3.8.2)
, , , , ; (3.8.2)
а также (3.8.3) и (3.8.4)
, ; (3.8.3)
, , , (3.8.4)
окончательно можем записать
.
Установили, что правая часть первого уравнения системы (3.8.1) совпадает с левой частью этого уравнения.
Этим доказали, что вектор , задаваемый формулой (3.8.6), является решением первого уравнения системы (3.8.1) при выполнении условий (3.8.3), (3.8.4).
Аналогично устанавливается справедливость второго и третьего уравнения системы (3.8.1) для вектора , задаваемого формулой (3.8.6). Лемма 1 доказана.
Лемма 2
Если существует решение системы (3.8.1), то оно единственное.
Доказательство
Доказываем
от противного. Пусть существует два
решения
системы (3.8.1), т.е. имеем
,
,
.
Вычитая одно уравнение из другого, получим
,
.
Отсюда
следует, что вектор
коллинеарен трем взаимно ортогональным
векторам
.
А
это значит
.
Получили противоречие с исходной
посылкой о том, что
.
Лемма 2 доказана.
Объединяя результаты, сформулированные в леммах 1 и 2, приходим к следующей теореме.
Теорема 1
Для того чтобы существовало решение системы (3.8.1), необходимо и достаточно выполнение условий (3.8.3), (3.8.4).
Если условия (3.8.3), (3.8.4) выполнены, то решение системы (3.8.1) — единственное и задается формулой (3.8.6).