§7. Число степеней свободы положения свободного твердого тела
Твердое тело называется свободным, если на его точки не наложено никаких других связей, задаваемых кинематическим способом, кроме условий, входящих в определение понятия жесткой системы:
«расстояния между любыми точками твердого тела остаются постоянными на любых движениях твердого тела».
1. Пусть тело состоит из точек, лежащих на одной прямой
Тогда
положение любой его точки
можно определить по формуле
,
где
— радиус-вектор
полюса связанной системы
относительно
заданной точки отсчета,
,
— орт
оси, жестко связанной с телом, т.е. оси,
на которой
находятся все точки
твердого тела,
(для
каждой точки
— свое значение).
Орт будет определен в любой момент времени , если в этот момент зададим два угловых параметра, поскольку для него справедливо
.
Таким образом, для того, чтобы можно было вычислить (определить) положение любой точки твердого тела, достаточно знать:
— три координаты точки ;
— два угловых параметра для определения направления орта .
Очевидно
также, что если хотя бы одна из перечисленных
координат точки
или один из угловых параметров вектора
неизвестны, то нельзя определить
положения всех точек твердого тела.
Поэтому знание указанных параметров в любой момент времени необходимо и достаточно для определения положения твердого тела. Отсюда делаем следующее заключение.
Вывод
Если твердое тело состоит из точек, лежащих на одной прямой, то оно имеет пять степеней свободы положения.
2. Пусть среди точек твердого тела имеется хотя бы три, не лежащие на одной прямой
В соответствии с матричным способом задания движения твердого тела можем записать:
. (3.7.1)
Имеем:
— три
свободные (независимые) координаты
,
задающие положение полюса
связанной
системы в любой момент времени
;
— три
независимых угла ориентации для
определения
матрицы
.
Итого, необходимо и достаточно знать шесть независимых координат для того, чтобы определить положение любой точки твердого тела в момент времени .
Вывод
Если твердое тело содержит хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой, то оно имеет шесть степеней свободы положения.
Замечание
Поскольку в общем случае свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы положения, то это значит, что положение любой его точки в любой момент времени можно задать (определить) с помощью шести независимых координат.
Такими
координатами, например, могут служить
декартовые координаты положения полюса
связанной системы координат,
и углы Эйлера
,
,
,
через которые может быть построена
матрица ориентации
твердого тела.
Зная
эти шесть обобщенных координат в момент
времени
,
можно вычислить положение любой точки
твердого тела по формуле (3.7.1), подставив
значения
— геометрических характеристик этой
точки.
§8. Мгновенная угловая скорость твердого тела