2º. Схема ввода углов ориентации

Доказательство теоремы Эйлера позволяет сформулировать простые правила и построить схему ввода углов Эйлера.

Правила и схему легко обобщить на случай ввода любых других трех независимых угловых величин, по которым может быть однозначно вычислена матрица ориентации.

Пусть в момент времени известны углы Эйлера . Перенумеруем оси в любой декартовой прямоугольной системе координат.

Будем называть осью 1, — осью 2, — осью 3. Соответственно, — это также ось с номером 1, — ось с номером 2, —ось с номером 3 в связанной системе.

Обозначим систему координат, совпадающую в момент времени с абсолютной системой .

Покажем, как, зная углы , с помощью трех последовательных поворотов системы можно совместить ее со связанной системой .

Процесс совмещения будем проводить в три этапа.

На первом этапе повернем систему вокруг третьей оси, т.е. вокруг оси , так, чтобы ось совпала с линией узлов. Это значит, что между новым положением оси и старым образовался угол .

Новое положение системы обозначим . Произведенное нами действие сформулируем в виде первого правила:

«Первый поворот совершается вокруг оси 3 на угол ».

Схематически действие по такому правилу обозначим:

Цифра 3 внутри круга указывает номер оси, вокруг которой происходит поворот на угол  на первом этапе.

На втором этапе повернем систему вокруг оси (т.е. вокруг оси 1) так, чтобы ось совпала с положением оси  связанной системы.

Поставленная цель достигается поворотом на угол вокруг линии узлов . Новое положение осей обозначим .

Описанное действие формулируется в виде второго правила:

«Второй поворот совершается вокруг оси 1 на угол ».

Действие по правилу 2 схематически изобразим по аналогии с действием по правилу 1:

Цифра 1 внутри круга указывает номер оси, вокруг которой происходит поворот на угол на данном этапе.

Поскольку действие по правилу 2 производится только после того, как сделан поворот на угол  на первом этапе, то, объединяя последовательность двух поворотов в единую схему, получим:

Здесь стрелка указывает на то, что поворот вокруг оси 1 на угол  осуществляется после поворота вокруг оси 3 на угол  .

На третьем этапе систему , полученную из двумя первыми поворотами на углы и , повернем вокруг оси (оси 3) так, чтобы она совместилась полностью с окончательным положением осей .

Совмещение осей будет достигнуто, если повернем систему на угол  .

Из описанных действий следует, что система координат , совпадающая в момент времени с абсолютной системой , может быть совмещена с угловым положением связанной системы с помощью трех последовательных поворотов на конечные углы вокруг одной из координатных осей промежуточных систем координат.

Каждая промежуточная система строится из предшествующей системы координат поворотом на один из перечисленных углов.

На последнем, третьем этапе действий необходимо руководствоваться правилом:

«Третий поворот совершается вокруг оси 3 на угол ».

Схематически этап 3 можно представить так:

В расшифровке предложенная схема означает, что поворот координатных осей должен проводиться вокруг оси 3 на угол из положения, которое система достигла после поворота вокруг оси 1 на угол .

Объединяя схемы действий, описанных на каждом этапе процесса перевода системы в положение связанной системы , задаваемое в момент времени углами Эйлера , приходим к следующей общей схеме такого перехода:

Она называется схемой ввода углов ориентации. В данном контексте она отражает схему ввода углов Эйлера.