3º. Физический смысл углов Эйлера

Поясним физический смысл углов Эйлера. Рассмотрим их на примере движения волчка.

Наблюдения показывают, если пренебречь трением опоры волчка, то ось симметрии волчка совершает следующее движение.

Обозначим — конец орта оси симметрии, начало системы координат — , а — проекцию точки на плоскость  .

Точка находится в плоскости во все время движения, причем, если конструктивно волчок выполнен точно (т.е. является симметричным относительно оси вращения, и все его массы расположены симметрично), то точка движется по окружности.

Радиус окружности равен , где — угол между осями и (см. рис. 3.4.5).

Об этом движении говорят, что волчок совершает прецессию.

Точнее говоря, прецессией волчка называют вращение вокруг вертикальной оси плоскости, проходящей через эту ось и ось симметрии волчка.

Если симметрия волчка конструктивно нарушена, то точка одновременно с прецессией, т.е. вращением вокруг полюса в плоскости  , совершает колебательное движение между двумя окружностями радиуса и (см. рис. 3.4.6).

Рис. 3.4.5 Рис.3.4.6

Здесь — минимальное значение угла  , а — максимальное. Иначе говоря, — колебательная функция. Такое движение волчка называется его нутационным колебанием.

Все остальные материальные точки волчка, расположенные вне оси симметрии, по отношению к этой оси совершают круговые движения по углу . Их движения называется собственным вращением волчка.

Таков физический смысл углов Эйлера. Отсюда они получили название:

– угол прецессии, ;

– угол нутации, ;

– угол собственного вращения, .

4º. Построение углов Эйлера по заданной матрице ориентации

Дадим ответ на следующий вопрос:

если матрица задана, то можно ли определить углы Эйлера по ее элементам?

Матрица имеет вид:

.

Из третьего столбца матрицы находим

, , .

Из третьей строки матрицы получим

, .

Эти соотношения справедливы только в том случае, когда , т.е. при и .

При и матрица , соответственно, принимает вид:

;

.

Из данных выражений матрицы можно вычислить по первому столбцу при только угол и угол при .

Эта особенность принципиальная, ибо при и при плоскости и совпадают, и понятие линии узлов отсутствует.

В такой ситуации в качестве линии узлов можно взять любую прямую, находящуюся в плоскости .

И если по общему правилу задать углы и относительно линии узлов, то по этим углам однозначно будут вычисляться элементы матрицы  , поскольку положение осей по отношению к при определяется суммой углов , а при — разностью углов .

Однако обратная задача — задача определения значений углов Эйлера по элементам матрицы — не будет иметь решения, поскольку углы и не могут быть вычислены при и .

§5. Выражение матриц ориентации твердого тела через самолетные и корабельные углы