Глава 3. Кинематика твердого тела
§4. Теорема Эйлера. Построение матрицы ориентации твердого тела через углы Эйлера
1º. Углы Эйлера. Теорема Эйлера
Справедлива следующая теорема.
Теорема Эйлера
Любое положение ортов связанной системы координат может быть задано через векторные функции, зависящие не более чем от трех независимых угловых параметров.
Все элементы матрицы ориентации определяются через эти угловые параметры однозначно.
Доказательство
Не
нарушая общности, можно считать, что
полюсы абсолютной и связанной систем
совпадают. Обозначим эти полюсы буквой
.
Рассмотрим
наиболее общую ситуацию, когда оси
связанной системы
не совпадают с осями абсолютной системы
.
Для определенности считаем, что
и
не совпадают (см. рис. 3.4.1).
Обозначим
– угол между векторами
и
(
и
).
Далее введем следующие обозначения:
– орт
линии пересечения плоскостей
и
;
эту линию назовем линией
узлов;
– орт
линии пересечения плоскости
и плоскости 
,
перпендикулярной линии узлов;
– орт
линии пересечения плоскости
и плоскости
,
перпендикулярной линии узлов.
Рис. 3.4.1
Кроме угла , введем углы (см. рис. 3.4.1):
– угол,
отсчитываемый в плоскости
от орта
оси
до орта
линии узлов; диапазон значений
;
угол
однозначно задает орт
в плоскости
по формуле
;
– угол,
отсчитываемый в плоскости
от орта
линии
узлов до положительного
направления оси
,
т.е. до орта
;
диапазон значений
;
угол
однозначно задает орт
в плоскости
по формуле
.
Напомним, что за положительное направление отсчета угла в ориентированной плоскости принято считать направление изменения этого угла против часовой стрелки, если смотреть на плоскость с конца орта нормали, задающего ее ориентацию.
Чтобы
построить матрицу ориентации, надо
выразить орты
через сумму векторов
.
Запишем
разложение векторов
, 
по векторам
и
.
Рис. 3.4.2
Очевидно, и взаимно ортогональны; векторы , , , находятся в одной плоскости (см. рис. 3.4.2).
Орт является направляющим вектором линии пересечения плоскостей и , а орт — направляющим вектором линии узлов (линии пересечения плоскостей и ).
Проектируя , на орты и , получим
, (3.4.1)
. (3.4.2)
Запишем
разложение
и
по векторам
и
.
Очевидно, орт
ортогонален
,
орт
ортогонален
,
и орты
,
,
,
лежат в одной плоскости
(см. рис. 3.4.3).
Рис.3.4.3
Орт является направляющим вектором линии пересечения плоскостей и , а – направляющим вектором линии пересечения плоскостей и .
Проектируя и на орты и , найдем их разложение:
, (3.4.3)
. (3.4.4)
Подставим (3.4.3) в (3.4.1) и (3.4.2):
, (3.4.1)
. (3.4.2)
Тогда вместе с (3.4.4) можем записать
,
, (3.4.5)
.
Воспользуемся, наконец, тем, что векторы , , , находятся в одной плоскости (см. рис. 3.4.4).
Орт является направляющим ортом линии пересечения плоскостей и ; — направляющим ортом линии пересечения плоскостей и ; орты и взаимно ортогональны.
Проектируя
и
на орты
и
,
будем иметь:
, 
.
Рис. 3.4.4
Подставляя данные зависимости ортов и от и в (3.4.5), окончательно находим разложения векторов по ортам :
,
,
.
В
них коэффициенты при ортах
в разложении
(первое равенство) являются элементами
первого столбца матрица
.
Аналогично, в разложении коэффициенты при ортах — элементы второго столбца, а в разложении — третьего.
Таким образом, матрица имеет вид:
.
Теорема доказана.
Определение
Углы
,
введенные при построении матрицы
ориентации в доказательстве теоремы
Эйлера, называются углами Эйлера.
Знание
углов Эйлера в любой момент времени 
при движении твердого тела позволяет
вычислить матрицу ориентации твердого
тела на данном движении.