Определение числа независимых узлов и контуров.

Число независимых узлов равно m = q – 1.

Для составления системы независимых уравнений баланса токов выбирают узлы с номерами от 1 до q – 1. Узел (0) называют базисным.

Число независимых контуров определяется числом главных ветвей n = p − q + 1. Поэтому число независимых уравнений баланса напряжений равно n.

Общее число линейно независимых уравнений на основании законов Кирхгофа:

Основные задачи теории цепей

Л юбую электрическую цепь можно рассматривать как систему с одним или несколькими входами и одним или несколькими выходами (рис. 1.37). Если к входам цепи подать внешнее воздействие в виде независимых источников токов и напряжений, то на выходах появятся отклики, также в виде токов и напряжений.

Задачи теории цепей:

1. Анализ цепи состоит в определении реакции цепи в виде токов и напряжений на всех или отдельных элементах цепи на заданное внешнее воздействие.

2. Синтез цепи состоит в определении структуры и параметров элементов цепи по заданному воздействию и отклику.

В частном случае задачи синтеза могут сводиться к нахождению соотношений между реакцией на воздействие . Такие соотношения называются характеристиками цепи.

Определение и исследование частотных характеристик – это задача анализа цепи в частотной области.

Нахождение временных характеристик — это задача анализа цепи во временной области.

Понятие об уравнениях электрического равновесия

Математически задача анализа электрической цепи сводится к составлению и решению системы линейно независимых уравнений, в которых в качестве неизвестных фигурируют токи и напряжения ветвей исследуемой цепи. Эти уравнения называются уравнениями электрического равновесия цепи. Общее число уравнений 2p: p уравнений по законам Кирхгофа, p компонентных уравнений.

Из компонентных уравнений можно исключить р_ит – уравнений, содержащих источники тока и р_ин – уравнений, содержащих только источники напряжения. Таким образом, 2р − р_ит − р_ин – уравнений и составляют основную систему уравнений электрического равновесия (ОСУ).

Уравнения электрического равновесия цепи представляют собой в общем случае систему алгебраических и интегро-дифференциальных уравнений.

Система уравнений может быть сведена к одному дифференциальному уравнению для любого из неизвестных токов или напряжений вида:

где любой неизвестный ток или напряжение;

линейная комбинация внешних воздействий в виде источников энергии и их производных.

Такое уравнение называют дифференциальным уравнением цепи.

Порядок его определяет порядок цепи и задается числом независимых реактивных элементов.

Лекция 4 Линейные электрические цепи при гармоническом воздействии

Функция времени a(t,) изменяющаяся по синусоидальному или косинусоидальному закону вида

где ψ' = ψ + π/2, то такая функция называется гармонической. Будем использовать косинусоидальную форму записи:

отрицательный полупериод

положительный полупериод

положительная полуволна

отрицательная полуволна

Амплитуда гармонической функции A_m – это ее наибольшее значение; размерность [В] или [A].

Наименьшее значение: – A_m.

Аргумент θ = ωt + ψ функции, записанной в косинусной форме, называется мгновенной фазой или просто фазой; измеряется в радианах или градусах.

Величина ψ, равная значению мгновенной фазы θ при t = 0, называется начальной фазой гармонической функции, измеряемой в радианах или градусах:

Скорость ее изменения ω = dθ/dt называется угловой частотой. Она выражается в радианах в секунду (рад/с).

Гармоническая функция относится к периодическим функциям.

Функция времени называется периодической, если ее значения повторяются через определенные промежутки времени.

Наименьший промежуток времени T, через который наблюдается повторение значений функции, называется периодом.

где n — произвольное целое число.

Величина, обратная периоду T, называется частотой:

Функция cos θ является периодической функцией θ с периодом, равным 2π. Следовательно, изменение времени на период Т соответствует изменению фазы θ на 2π:

Определяют также положительный и отрицательный полупериоды.

Значения функции на положительном полупериоде – это положительные полуволны, на отрицательном – отрицательные полуволны.

С двиг начальной фазы: аргумент t .

Вводят понятие разности фаз двух гармонических функций одной частоты:

Если т.е. , то функция опережает функцию .

Если то функции совпадают по фазе.

Если , то функции находятся в противофазе.

Важнейшим свойством гармонических функций времени является то, что в результате линейных операций, производимых над ними (умножение на постоянное число, дифференцирование, интегрирование, алгебраическое сложение нескольких гармонических функций одинаковой частоты), получают гармонические функции той же частоты, но с изменением амплитуды и/или фазы.

Если а₁(t) = A_m1 cos(ωt + ψ₁), то:

1. ;

2. 

   𝜓

   ;

3. 

   𝜓

4. где ;