4. Розв’язування гри в мішаних стратегіях.

Якщо гра не має сідлової точки, то застосування чистих стратегій не дає оптимального розв’язку гри. Так в прикладі 12.1 , сідлова точка відсутня. В такому випадку можна отримати оптимальний розв’язок, випадковим чином чередуючи чисті стратегії.

Мішаною стратегією гравця називається застосування чистих стратегій з імовірностями , причому сума імовірностей дорівнює 1: .

Мішані стратегії гравця записують у вигляді матриці:

,

або у вигляді рядка .

Аналогічно мішані стратегії гравця позначаються:

, або ,

де сума імовірностей появи стратегій дорівнює 1:

Чисті стратегії можна вважати окремим випадком мішаних стратегій і задавати рядком, в якому 1 відповідає чистій стратегії, а інші елементи – 0. На основі принципу мінімаксу визначається оптимальний розв’язок гри: це пара оптимальних стратегій в загальному випадку мішаних, що володіють наступною властивістю: якщо один з гравців притримується своєї оптимальної стратегії, то іншому не може бути вигідним відступати від своєї. Виграш, що відповідає оптимальному розв’язку, називається ціною гри. Ціна гри задовольняє нерівності: , де і -- нижня і верхня ціна гри. Справедлива слідуюча основна теорема теорії гри (теорема Неймана):

Теорема. Кожна скінчена гра має принаймні один оптимальний розв’язок, можливо, серед мішаних стратегій.

Ця теорема має велике практичне значення – вона дає конкретні моделі знаходження оптимальних стратегій при відсутності сідлової точки.

Розглянемо гру розміру , яка є найпростішим прикладом скінченої гри. Якщо така гра має сідлову точку, то оптимальний розв’язок – це пара чистих стратегій, що відповідають цій точці.

Гра, в якій відсутня сідлова точка, у відповідності з основною теоремою, має оптимальний розв’язок, що визначається парою мішаних стратегій і .

Для того щоб знайти їх, скористаємось теоремою про активні стратегії. Якщо гравець притримується своєї оптимальної стратегії , то його середній виграш буде рівним ціні гри , якою б активною стратегією не користувався гравець . Для гри будь-яка чиста стратегія противника є активною, якщо відсутня сідлова точка. Виграш гравця (програш гравця ) – випадкова величина, математичне сподівання (середнє значення) якої є ціною гри. Тому середній виграш гравця ( оптимальна стратегія ) буде дорівнювати і для першої і для другої стратегії супротивника.

Нехай гра задана платіжною матрицею .

Середній виграш гравця , якщо він використає оптимальну мішану стратегію , а гравець -- стратегію дорівнює ціні гри :

.

Такий же виграш і при застосуванні другим гравцем стратегії , тобто

.

Враховуючи, що , одержимо систему рівнянь для визначення оптимальної стратегії і ціни гри :

( 12.1 )

Розв’язуючи цю систему, одержимо оптимальну стратегію

і ціну гри

.

Застосовуючи теорему про активні стратегії для знаходження -- оптимальної стратегії гравця , одержимо, що при будь-якій чистій стратегії гравця ( чи ) середній програш гравця дорівнює ціні гри , тобто

( 12.2 )

Тоді оптимальна стратегія визначається формулами

Приклад. Застосуємо одержані результати для знаходження оптимальних стратегій для гри «Пошук»:

Розв’язок. Гра «Пошук» задана платіжною матрицею без сідлової точки:

.

Шукаємо розв’язок в мішаних стратегіях. Для гравця середній виграш дорівнює ціні гри (при і ); для гравця середній програш дорівнює ціні гри (при і ). Системи рівнянь мають вигляд:

( 12.3 )

Розв’язуючи ці системи, одержуємо Це означає, що оптимальна стратегія кожного гравця полягає в тому, щоб чергувати свої чисті стратегії випадковим чином, вибираючи кожне із сховищ з імовірністю . При цьому середній виграш дорівнює 0.