Задача 5
Дослідити функцію на екстремум
Побудуємо область обмежень
1.
2.
3.
Областю обмежень є множина точок площини ХОУ, що належать чотирьохкутнику АВСDE з вершинами:
А (0;
);
В(
);
С(1,25;
7,5);
D(5;
0);
E(2; 0)
Знайдемо значення функції у критичних точках області
-
критична точка, що не належить області
розв’язків.
Знайдемо значення функції у критичних точках на границях області.
1)
;
-
критична точка, що належить області
розв’язків.
2)
;
.
Критична
точка
належить області розв’язків, тому
3)
;
Критична точка не належить області
розв’язків.
4. Знайдемо значення функції у вершинах області розв’язків
А (
);
В(
);
С(1,25; 7,5);
D(5;
0); E(2;
0)
Значить:
Задача 6
Гірничо-збагачувальний
комбінат виробляє товарну продукцію –
концентрат, який реалізує на внутрішній
і зовнішній ринки збуту. При продажу
тон концентрату на внутрішній ринок
витрати на реалізацію складають
грн., а при продажу
тон концентрату на зовнішній ринок -
грн.
Визначити, яку кількість концентрату (тон) необхідно продавати на внутрішній і зовнішній ринки, щоб витрати на реалізацію були мінімальними, якщо за рік реалізується 10000 тис. тон концентрату.
Розв’яжемо задачу за допомогою методу множників Лагранжа
Складемо економіко-математичну модель задачі. Цільова функція економіко-математичної моделі має вигляд
,
де - витрати на реалізацію концентрату, грн.
при обмеженнях
Складемо функцію Лагранжа
.
За
необхідною умовою існування екстремуму
функції, знайдемо частинні похідні
функції
за змінними
,
прирівняємо їх до нуля та одержимо
систему рівнянь
Після елементарних перетворень одержуємо
Звідки
тис. тон;
тис.
тон.
Перевіримо одержані значення на оптимальність. Використаємо достатню умову екстремуму функції двох змінних.
Одержуємо,
Звідси,
,
тому у точці (5000; 5000) існує екстремум
функції. При
одержуємо,
що у досліджуваній точці існує мінімум
функції, значить, мінімальні витрати
на реалізацію концентрату дорівнюють
грн.
Задача 7
Для виробництва двох видів продукції виробів А і В підприємство використовує три типи технологічного обладнання. Кожен із виробів повинен пройти обробку на кожному з типів обладнання. Час обробки кожного з виробів, витрати, що пов’язані з виробництвом одного виробу, задано у таблиці
Тип обладнання |
Витрати часу на обробку одного виробу, час. |
|
А |
В |
|
І |
2 |
8 |
ІІ |
1 |
1 |
ІІІ |
12 |
3 |
Витрати на виробництво одного виробу, тис. грн. |
2 |
3 |
Обладнання І і ІІІ типів підприємство може використовувати не більше 26 і 39 годин відповідно, обладнання ІІ типу доцільно використовувати не менше 4 год.
Визначити, скільки виробів кожного виду треба виробити підприємству, щоб середня собівартість одного виробу була мінімальною.
Позначимо
- кількість виробів виду А;
-
кількість виробів виду В. Загальні
витрати на їх виробництво складають
тис. грн., а середня собівартість одного
виробу дорівнює
, тому математична модель задачі має
вигляд
при обмеженнях
Побудуємо область припустимих розв’язків – трикутник АВС.
Із цільової функції виразимо
Значить кутовий коефіцієнт прямої зростає, тобто пряма обертається проти годинникової стрілки і у точці С є мінімум, а у точці А – максимум.
Знайдемо координати точки С
.
Тому підприємство повинно випускати 3 вироби виду А і 1 виріб виду В, при цьому середня собівартість буде складати 2,25 грн.