§2. Свойства суммы степенного ряда

Пусть степенной ряд имеет радиус сходимости .

Мы уже знаем, что степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке внутри интервала сходимости, поэтому из теорем о непрерывности и интегрируемости суммы функционального ряда сразу следует:

1. Сумма непрерывна при .

2. Степенной ряд можно интегрировать почленно по любому отрезку , т.е.

Теперь обратимся к дифференцированию степенного ряда. Для этого требуется равномерная сходимость ряда из производных, т.е. ряда .

Выпишем для наглядности три ряда

(А) , радиус сходимости ;

(А₁) , радиус сходимости обозначим ;

(А₂) , радиус сходимости обозначим .

Исследуем сходимость ряда (А ₁). Зафиксируем и возьмем такое , что . Найдем

, где ограничивает общий член сходящегося ряда . Легко показать, что ряд сходится по признаку Даламбера, если . Следовательно, ряд из производных (А₁) сходится для и его радиус сходимости не меньше ,т.е. .

Теперь сравним ряд (А) с рядом (А₂), который получается из (А) умножением на :

. Но т.к. , то . Окончательно, .

Таким образом, имеем

26