Аналітичне вирівнювання
Кожна середня характеризує загальну тенденцію розвитку явища, не дає аналітичного вираження тренда. З цією метою вдаються до аналітичного вирівнювання ряду динаміки. Це здійснюється у декілька етапів:
На підставі апріорного аналізу сутності і законів розвитку досліджуваного явища, встановлюється можливий характер динаміки на досліджуваному етапі розвитку явища.
Виходячи з характеру динаміки, обирається форма аналітичного рівняння, яка найкращим чином відображає закономірність динаміки на досліджуваному етапі розвитку явища: пряма, парабола, гіпербола і т. інше.
Обчислюються параметри вибраного рівняння зв’язку.
Таким чином, технічно вирівнювання полягає у заміні фактичних рівнів такими рівнями, що плавно змінюються (теоретичними), які у середньому менше всього відхилялися б від фактичних і мали б визначене аналітичне вираження відповідно до загального напрямку і характеру тренда.
Розглянемо процес вирівнювання ряду динаміки по прямій.
Приклад розрахунку. Відомі дані про податкові надходження з фізичних осіб (див. табл. 1), за якими будемо будувати модель.
Позначимо суму ПДФО через „у”, час через „t”, тоді рівняння, що пов’язує зміну ПДФО у часі, буде мати вигляд
(11)
де t – час, порядкові номера періодів або моментів часу, до яких відносяться рівні ряду.
Таблиця 2 Дані про надходження ПДФО до зведеного бюджету України, млрд грн.
Роки |
ПДФО, (у) |
Роки (умовно), t |
t2 |
ty |
|
2002 |
10,8 |
-2 |
4 |
-21,6 |
10,48 |
2003 |
13,5 |
-1 |
1 |
-13,5 |
12,68 |
2004 |
13,2 |
0 |
0 |
0 |
14,88 |
2005 |
16,7 |
1 |
1 |
16,7 |
17,08 |
2006 |
20,2 |
2 |
4 |
40,4 |
19,28 |
Разом |
74,4 |
0 |
10 |
22 |
74,4 |
Спеціальні методи дозволяють отримати параметри аналітичної формули, які найкращим чином охоплюють точки рівней ряду. Основним таким методом є метод найменших квадратів. В його основі лежить умова: сума квадратів відхилень конкретних (заданих) значень уі від розрахованих за рівнянням повинна бути мінімальною:
(12)
де n – число рівнів.
Цієї умові задовольняє система рівнянь названих нормальними:
.
(13)
Звідси легко знайти а0 і а1. Розв’язувати краще в умовних координатах t, для цього слід прийняти будь-який рік за умовний.
Відповідні розрахунки виконані у таблиці 2 (гр. 1-4), підставляючи необхідні дані у рівняння системи (13), отримаємо її у вигляді
тоді
.
Підставляючи у рівняння (11) значення параметрів а0 і а1, одержимо:
Підставляючи послідовно значення часу t = 1,2 і т. д., одержимо вирівняні значення ряду динаміки (див гр. 5 табл. 2). Представимо вихідний і вирівняний ряд на графіку (рис. 1).
Рисунок 1 – Зміна
ПДФО до зведеного бюджету України