23.2. Параметрическое задание прямой.

Определение. Направляющим вектором прямой будем называть не нулевой вектор, для которого существует представитель (направленный отрезок), лежащий на данной прямой.

Пусть l – прямая, вектор = (m,n) – направляющий вектор прямой l, и пусть точка M₀(x₀, y₀) принадлежит прямой l.

Для любой точки M(x,y) прямой l вектор коллинеарен направленному отрезку . Так как ≠ , то существует такое число t  R, что = t . Запишем последнее равенство в координатах: x - x₀ = mt, y - y₀ = nt. Итак, для координат точки M справедливы равенства: (**)

РИС. 35(1,2)

Возьмем теперь точку N(x,y), координаты которой удовлетворяют системе (**), то есть существует такое значение t  R, при котором оба равенства в системе (**) верны для данных x и y.Так как = (x - y₀, y - y₀), то из равенства (**) следует, что = t , то есть | | , значит точка N лежит на прямой l (так как через данную точку проходит единственная прямая параллельная данной прямой).

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Любая прямая на плоскости в декартовой системе координат может быть задана системой вида (m² + n² ≠ 0), где (m, n) – координаты направляющего вектора прямой, (x₀, y₀) – координат точки, принадлежащей данной прямой.

Докажем теперь и обратное.

Теорема. Любая система уравнений вида (m² + n² ≠ 0) на плоскости в декартовой системе координат задает некоторую прямую, при этом (m, n) – координаты направляющего вектора прямой, (x₀, y₀) – координат точки, принадлежащей данной прямой.

Доказательство.

Заметим, что (x₀, y₀) - это решение системы (**) (при t = 0).

Существует прямая с направляющим вектором = (m,n), проходящая через точку M₀(x₀, y₀). По предыдущей теореме такая прямая задается системой (**).

Замечания.

1) Можно доказать две предыдущие теоремы и для аффинной системы координат на плоскости.

2) Ясно, что направляющий вектор прямой и вектор нормали к этой же прямой взаимно ортогональны, то есть Am + Bn = 0, и если известен один из этих векторов то можно найти и другой. Например, если известен вектор нормали = (A, B), то в качестве направляющего вектора можно взять вектор = (-B, A).

Определение. Систему уравнений вида (m² + n² ≠ 0) будем назвать параметрическим заданием прямой, а букву t в этой системе параметром.

23.3. Каноническое уравнение прямой

(уравнение прямой по двум данным точкам).

Пусть известны две различные точки M₀(x₀, y₀) и М₁(x₁, y₁) лежащие на прямой l.

Для любой точки M(x,y) прямой l направленные отрезки и коллинеарны, то есть их координаты пропорциональны: = (***)

Возьмем теперь точку N(x,y), координаты которой удовлетворяют равенству (***), тогда направленные отрезки и будут коллинеарными (так как их координаты пропорциональны), значит точка N лежит на прямой l (так как через данную точку проходит единственная прямая перпендикулярная данной прямой).

Заметим, что направленный отрезок является представителем направляющего вектора прямой, то есть координаты направленного отрезка = (x₁- x₀, y₁ -y₀) – это координаты направляющего вектора прямой.

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Любая прямая на плоскости в декартовой системе координат может быть задана уравнением вида (m² + n² ≠ 0) (****), где (m, n) – координаты направляющего вектора прямой, (x₀, y₀) – координат точки, принадлежащей данной прямой.

Докажем теперь и обратное.

Теорема. Любое уравнение вида (m² + n² ≠ 0)на плоскости в декартовой системе координат задает некоторую прямую, при этом (m, n) – координаты направляющего вектора прямой, (x₀, y₀) – координат точки, принадлежащей данной прямой.

Доказательство.

Заметим, что (x₀, y₀) - это решение уравнения (****).

Существует прямая с направляющим вектором = (m,n), проходящая через точку M₀(x₀, y₀). По предыдущей теореме такая прямая задается системой (****).

Определение. Уравнение вида (m² + n² ≠ 0) будем назвать каноническим уравнением прямой.

Замечание (О видах уравнений прямой на плоскости).

Существует много других видов уравнений и способов аналитического задания прямой на плоскости: уравнение с угловым коэффициентом, уравнение в отрезках, нормальное уравнение и т.д. Как правило, эти уравнения являются частным случаем рассмотренных выше трех уравнений, или же сводятся к ним.

Упражнения.

1) Какие из точек A(0,-3), B(2,1), C(5,4), D(1,1), O(0,0) лежат на прямой, заданной уравнением: (1) 2x + 5y -9 = 0; (2) ; (3) ; (4) 4x – 5y = 0?

2) Напишите все три вида уравнения прямой l, если известно, что:

1) Прямая l проходит через точку M (-1, 3) перпендикулярно вектору = (2,5);

2) Прямая l проходит через точку M (2,2) параллельно вектору = (-1,5);

3) Прямая l проходит через точку M (2,2) и точку N(-4,5);

4) Прямая l проходит через точку M (2,-1) параллельно прямой m, которая задана уравнением x + 4y – 5 = 0;

5) Прямая l проходит через точку M (0,0) перпендикулярно прямой m, которая задана уравнением x + 4y – 5 = 0;

6) Прямая l проходит через точку M (2,-1) параллельно прямой m, которая задана уравнением ;

7) Прямая l содержит середины сторон AB и AC треугольника ABC, где A (1,1), B (2, 3),

C (5,0);

8) Прямая l проходит через высоту AH треугольника ABC, где A (1,1), B (2, 3), C (5,0);

9) Прямая l проходит через биссектрису CK треугольника ABC, где A (1,1), B (2, 3),

C (5,0);

10) Прямая l проходит через точку M (2,-1) под углом к положительному направлению оси (Ox).