40.7. Двуполостный гиперболоид

- поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида = -1 (ððð) (где a > 0, b > 0, c > 0).

1) По уравнению (ððð) видно, что двуполостный гиперболоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

2) По уравнению (ððð) видно, что для координат точек двуполостного гиперболоида справедливо неравенство | z |  c.

3) Сечения плоскостями z = z₀ (z₀- константа).

Согласно пунктам 1 и 2 достаточно рассмотреть случай z₀ ³ c.

z = c (плоскость параллельная плоскости (xOy)):

- точка на оси (Oz) с координатами (0,0,c);

z = z₀ , z₀ > c (плоскость параллельная плоскости (xOy)):

Û (где l > 0, l² = - 1) - эллипс с полуосями la и lb.

При этом чем больше значение z₀, тем больше значение l, то есть тем больше полуоси la и lb эллипса, который мы получаем в сечении.

4) Сечения плоскостями x = x₀ (x₀ - константа)..

Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай x₀ ³ 0.

x = 0 (плоскость (yOz)):

- гипербола с действительной полуосью c и мнимой полуосью b (асимптоты гиперболы - это прямые z = y в плоскости (yOz));

x = x₀ , x₀ > 0 (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

Û (где l > 0, l² = 1+ ) - гипербола с действительной полуосью lc и мнимой полуосью lb (асимптоты гиперболы - это прямые z = y в плоскости x = x₀).

При этом, чем больше значение x₀, тем больше значение l, то есть тем больше полуоси lc и lb гиперболы, тем дальше вершины гиперболы друг от друга.

5) Сечения плоскостями y = y₀ (случай аналогичен п. 4, рассмотреть самостоятельно)

РИС. 58 двуполостный гиперболоид

Замечание.

При a = b двуполостный гиперболоид является гиперболоидом вращения, получается вращением гиперболы , лежащей в плоскости (yOz), вокруг оси (Oz).

Замечание.

Введем следующее обозначение: F(x,y,z) = . Тогда уравнения F(x,y,z) = 0, F(x,y,z) = 1, F(x,y,z) = - 1 задают (соответственно) конус, однополостный и двуполостный гиперболоиды. При этом при достаточно больших по модулю значениях переменных x и y, значения переменных z для точек, лежащих на конусе и гиперболоидах, отличаются мало (Пусть M(x,y,z) - точка на конусе, M’(x,y,z’) - точка на однополостном гиперболоиде, M’’(x,y,z’’) - точка на двуполостном гиперболоиде, тогда при x  , y   |z - z’|  0 и | z - z’’|  0). Конус, который задается уравнением F(x,y,z) = 0, будем называть асимптотическим для гиперболоидов, которые задаются уравнениями F(x,y,z) =  1.

рис.59 гиперболоиды и асимптотический конус

40.8. Эллиптический параболоид

- поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида = 0 () (где a > 0, b > 0).

Уравнение (°) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.

1) По уравнению (°) видно, что эллиптический параболоид симметричен относительно координатных плоскостей (xOz) и (yOz) и координатной оси (Oz).

2) По уравнению (°) видно, что для координат точек эллиптического параболоида справедливо неравенство z  0, то есть эллиптический параболоид весь расположен по одну сторону от плоскости (xOy).

3) Сечения плоскостями z = z₀, z₀  0.

z = 0 (плоскость (xOy)):

- точка (0,0,0) - начало координат;

z = z₀ , z₀ > 0(плоскость параллельная плоскости (xOy)):

Û (где  > 0, ² = z₀) - эллипс с полуосями la и lb.

При этом чем больше значение z₀, тем больше значение l, то есть тем больше полуоси la и lb эллипса, который мы получаем в сечении.

4) Сечения плоскостями x = x₀ (x₀- константа)..

Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай x₀  0.

x = 0 (плоскость (yOz)):

- парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены «вверх» (относительно положительной полуоси (Oz));

x = x₀ , x₀ > 0 (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

- парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены «вверх» (относительно положительной полуоси (Oz)).

Заметим, что от значения x₀, не зависит форма параболы, в сечении плоскостями параллельными плоскости (yOz) мы получаем равные параболы, вершины которых с ростом значения x₀ смещаются вверх вдоль оси (Oz).

5) Сечения плоскостями y = y₀ (случай аналогичен п. 4, рассмотреть самостоятельно)

РИС. 60 эллиптический параболоид

Замечание.

При a = b конус является конусом вращения (сечения, рассмотренные в п. 3, будут окружностями), и получается вращением параболы вокруг свое оси (вокруг оси (Oz)).