§ 21. Смешанное произведение векторов в v3

Пусть в пространстве E³ зафиксирована декартова система координат.

Определение. Смешанным произведением векторов , , Î V³ будем называть скалярное произведение векторов  и , то есть (  )

Обозначение: - смешанное произведение векторов , и .

Замечания.

1) В пространстве E³ фиксирована система координат, так как векторное произведение определено однозначно только при фиксированной ориентации пространства E³.

2) При смене ориентации пространства векторное произведение изменит направление на противоположное, так что смешанное произведение просто сменит знак.

Другими словами, модуль смешанного произведения не зависит от выбора декартовой системы координат; при смене систем координат смешанное произведение не изменится, если не изменится ориентация системы координат, и сменит знак в противоположном случае.

Теорема

Пусть = (x_a, y_a, z_a), = (x_b, y_b, z_b), = (x_c, y_c, z_c) в некоторой декартовой системе координат. Тогда =

Доказательство.

1)  = ( , - , ) (см. § 20)

2) = (  ) = x_c - y_c + z_c =

Теорема (Алгебраические свойства смешанного произведения).

1) = = = - = - = - для любых двух векторов , , Î V³;

2 ) Линейность по первому аргументу:

( + ) = + для любых векторов , , , Î V³,

(l ) = l для любых векторов , , Î V³, для любого числа l Î R;

3) Линейность по второму аргументу:

( + ) = + для любых векторов , , , Î V³,

( ) = l для любых векторов , , Î V³, для любого числа l Î R;

4) Линейность по третьему аргументу:

( + ) = + для любых векторов , , , Î V³,

( )= l для любых векторов , , Î V³, для любого числа l Î R.

Доказательство (провести самостоятельно).

Свойства (1) - (4) можно проверить используя формулу для вычисления смешанного произведения, представленную в предыдущей теореме.

Определение. Будем говорить, что параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ натянут на векторы , , , если = , = , = .

Будем говорить, что тетраэдр ABCD натянут на векторы , , , если = , = , = .

Теорема. ( Геометрические свойства смешанного произведения).

1) = 0 Û векторы , , компланарны;

2) Если векторы , ,  V³ не компланарны , то | | = V, где V – объем параллелепипеда, натянутого на векторы , и ;

3) > 0 тогда, и только тогда когда векторы , и не компланарны и ориентация тройки { , , } как базиса пространства V³ совпадает с ориентацией пространства V³ (то есть с ориентацией базиса фиксированной системы координат)

< 0 тогда, и только тогда когда векторы , и не компланарны и ориентация тройки { , , } как базиса пространства V³ не совпадает с ориентацией пространства V³ (то есть с ориентацией базиса фиксированной системы координат)

Доказательство.

1) Пусть = 0, то есть по определению (  ) = 0. Тогда векторы  и ортогональны, следовательно  =  или =  или  = , где  - угол между ненулевыми векторами  и .

Если ´ = , то векторы и коллинеарны, и векторы , , компланарны (см.§12).

Если = , то векторы , , компланарны (см.§12).

Если  = и векторы ´ и не нулевые, то так как вектор ´ ортогонален векторам и , то векторы , , компланарны (если отложить векторы , , ´ и от одной точки : = , = , = , = ´ , тогда OD  (OAB), OC  OD и C  (OAB)).

Пусть векторы , , компланарны. Вектор ´ ортогонален векторам и , а значит ортогонален и вектору , то есть ( ´ ) = 0.

2) Пусть векторы , , не компланарны, и параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ такой, что = , = , = .

РИС. 31

Объем параллелепипеда можно вычислить по следующей формуле: V = S _осн. h , где S _осн. - площадь ABCD, h - высота параллелепипеда (расстояние между параллельными гранями ABCD и A₁B₁C₁D₁.

S _осн. = S _ABCD = | ´ | (см. §20)

Пусть AH - высота данного параллелепипеда, тогда AH  (ABC) и, так как ´  (ABC), то | | ´ , поэтому углы между и и между ´ и равны или в сумме составляют .

Из прямоугольного треугольника ACH: AH = | | cos  CAH, то есть h = AH = | | | cos |, где  - угол между векторами ´ и .

Итак, V = S _осн. h = | ´ | | | |cos | = |( ´ ) | = | |.

3) Заметим, что = .

Так, что в случае некомпланарных векторов , , определитель матрицы перехода от фиксированного в декартовой системе координат базиса к базису { , , } совпадает СС смешанным произведением , поэтому свойство (3) следует из определения одинаково ориентированных базисов пространства V³.

Следствие.

Если векторы , , Î V³ не компланарны, то | | = V, где V – объем тетраэдра, натянутого на векторы , и ;

Замечание (о левых и правых тройках).

Если в пространстве фиксирована стандартная декартова система координат с базисными векторами , , (векторы , , образуют правую тройку), то смешанное произведение трех некомпланарных векторов положительно тогда, и только тогда, когда эти векторы образуют правую тройку ( в противном случае, некомпланарные векторы образуют левую тройку).

Замечание. Свойства смешанного произведения показывают, что его можно считать аналогом косого произведения векторов в пространстве.

Упражнения.

1) Найдите объем призмы ABCA₁B₁C₁, если A (1,2,0), B (3,0,-1), C (0,2,5), C₁ (0,0,-2) в некоторой декартовой системе координат.

2) Лежат ли точки A,B,C, D в одной плоскости, если в некоторой декартовой системе координат A (0,-1,-3), B (0, 2, 2), C (-3, 4, 5), D (2,-4,-1)?

3) Вычислите смешанное произведение (3 -2 ) ( + + ) ( + 2 ), если = 5.

4) Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите отношение объемов параллелепипеда и тетраэдра, натянутого на векторы 2 , - и 3 .