§ 20. Векторное произведение векторов в v3

Из параграфа § 18 обратим внимание на необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов: | |² | |² - | |² = 0 Û | | .

Пусть в пространстве E³ зафиксирована декартова система координат.

Пусть = (x_a, y_a, z_a), = (x_b, y_b, z_b). Рассмотрим выражение | |² | |² - | |² в координатах:

| |² | |² - | |² = (x_a² + y_a² + z_a² ) (x_b² + y_b² + z_b²) – (x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b)² = (y_a z _b - z_a y _b)² +

+ (z_a x_b - x_a z_b)² + (x_a y_b - y_a x_b)² = + +

Итак, два вектора ,  V³ коллинеарны, тогда и только тогда, когда = 0, = 0 и = 0.

Определение. Векторным произведением векторов , Î V³ в данной системе координат  будем называть вектор ( , - , ).

Обозначение: _

Замечание. Естественно возникает вопрос, насколько векторное произведение зависит от системы координат.

Теорема.

1) _w =   | | для любых векторов , Î V³, в любой декартовой системе координат ;

2) Если векторы и не коллинеарны, то | _w | = S, где S – площадь параллелограмма, натянутого на векторы и , в любой системе декартовой координат ;

3) Вектор _w ортогонален векторам и для любых векторов , Î V³;

4) Если векторы и не коллинеарны, то тройка векторов { , , ´_w } ориентирована так же как базис системы координат .

Доказательство.

Свойства (1) и (2) непосредственно следует из определения векторного произведения.

3) Достаточно показать, что скалярное произведение вектора ´_w с векторами и равно нулю:

´_w  = x_a - y_a + z_a = 0;

´_w × = x_b - y_b + z_b = 0.

4) Если векторы и не коллинеарны, то векторы , , ´_w не компланарны (см. п. 3), то есть составляют базис пространства V³.

Составим матрицу перехода от базиса фиксированной системы координат к этому базису, и найдем ее определитель:

= ² + ² + ² > 0

Так как определитель матрицы перехода положителен, то базис , , ´_w и базис фиксированной декартовой системы координат ориентированы одинаково.

Замечания.

1) Свойства (1) и (2) из вышеуказанной теоремы показывают, что длина векторного произведения векторов не зависит от выбора декартовой системы координат.

2) Свойства (3) и (4) показывают, что при фиксированной ориентации пространства V³ направление векторного произведения определено однозначно, и при смене ориентации векторное произведение изменит направление на противоположное.

3) Часто векторное произведение двух векторов определяют как вектор, удовлетворяющий свойствам (1)-(3) и образующий с данными векторами правую тройку. Ясно, что в этом случае подразумевается, что в пространстве фиксирована система координат со стандартным базисом – правой тройкой , , .

Замечание. В дальнейшем будем опускать знак системы координат в обозначении векторного произведения.

Теорема. (Свойства векторного произведения).

1) Антисимметричность:  = -  для любых двух векторов , Î V³;

2 ) Линейность по первому аргументу:

( + )  =  +  для любых векторов , ,  V³,

( )  =   для любых векторов , Î V³, для любого числа l Î R;

3) Линейность по второму аргументу:

 ( + ) =  +  для любых векторов , , Î V³,

 ( ) = l  для любых векторов , Î V³, для любого числа l Î R.

Доказательство.

Свойства (1) - (3) непосредственно следуют из определения векторного произведения.

Упражнения.

1) Пусть в пространстве E³ фиксирована декартова система координат с правой ориентацией. Найдите векторные произведения  ,  ,  .

2) Найдите площадь треугольника ABC:

1. A(1, - 2,0 ), B(3,-2,1), C (0, 0,3);

2. A(0,-4,2), B( 0,2,3), C(-1,1,2);

3. A(-3,7,8), B(1,1,1), C(0,0,0).

3) Дан параллелограмм. Докажите, что площадь параллелограмма, стороны которого равны и параллельны диагоналям данного параллелограмма, в два раза больше, чем площадь данного параллелограмма.

4) Дан треугольник с площадью S. Докажите, что существует треугольник, стороны которого параллельны и равны медианам данного треугольника, и найдите его площадь.

5) Дана призма. К каждой грани призмы во внешнюю относительно нее сторону восстановлен вектор, который перпендикулярен грани и по длине равен площади этой грани. Докажите, что сумма всех таких векторов равна нуль-вектору.

6) Верен ли факт аналогичный (5) для тетраэдра?

7) Каков аналог векторного произведения в пространстве V² (на плоскости)?