§ 42. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида

Теорема.

Для любого однополостного гиперболоида существуют два семейства прямых, такие что: (1) Любая прямая каждого семейства полностью лежит на гиперболоиде;

(2) Через каждую точку гиперболоида проходит ровно одна прямая из каждого семейства;

(3) Любые две прямые из одного семейства скрещиваются;

(4) Любые две прямые из разных семейств либо пересекаются, либо параллельны. При этом, для любой прямой из одного семейства существует ровно одна параллельная ей прямая из другого семейства.

Доказательство.

(Провести самостоятельно).

Указания.

1) Ввести декартову систему координат так, чтобы однополостный гиперболоид задавался каноническим уравнением: .

2) Рассмотреть два семейства прямых:

Семейство (I): или (*) (где l - действительный параметр),

Семейство (II): или (**) (где µ - действительный параметр).

3) Найти направляющие векторы прямых из разных семейств, и доказать, что эти векторы коллнинеарны тогда, и только тогда, когда для параметров  и µ выполняется соотношение µ = -1.

Упражнения.

(1) Докажите, что существуют прямолинейные образующие для конуса и для любого цилиндра.

(2) Найти прямолинейные образующие поверхности P, проходящие через точку M:

1) P: , M(1,-1, -3); 2) P: , M(1,1, -3).

(3) Найдите все прямолинейные образующие поверхности P (или докажите, что их нет) параллельные плоскости , заданной уравнением x + y + z = 10, если: 1) P: ; 2) P: .