40.5. Конус
- поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида = 0 () (где a > 0, b > 0, c > 0).
Уравнение (ð) называется каноническим уравнением конуса.
1) По уравнению (ð) видно, что конус симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.
2) Сечения плоскостями z = z0 (z0- константа).
Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай z0 0.
z = 0 (плоскость (xOy)):
- точка (0,0,0) - начало координат;
z = z0 , z0 > 0(плоскость параллельная плоскости (xOy)):
Û
(где > 0, 2
=
)
- эллипс с полуосями la
и lb.
При этом чем больше значение z0, тем больше значение l, то есть тем больше полуоси la и lb эллипса, который мы получаем в сечении.
3) Сечения плоскостями x = x0 (x0- константа)..
Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай x0 0.
x = 0 (плоскость (yOz)):
- две пересекающиеся в начале координат
прямые y =
в плоскости (yOz);
x = x0 , x0 > 0 (плоскость параллельная плоскости (yOz)):
(где > 0, 2
=
)
- гипербола с действительной полуосью
b и
мнимой полуосью c
(асимптоты гиперболы - это прямые z
=
y
в плоскости x = x0).
При этом, чем больше значение x0, тем больше значение , то есть тем больше полуоси lb и lc гиперболы, тем дальше вершины гиперболы друг от друга.
4) Сечения плоскостями y = y0 (случай аналогичен п. 3, рассмотреть самостоятельно)
РИС. 55. конус
Замечания.
1) При a = b
конус является конусом вращения (сечения,
рассмотренные в п 2, будут окружностями),
и получается вращением прямой y
=
z,
лежащей в плоскости (yOz),
вокруг оси (Oz).
2) Через каждую точку конуса проходит ровно одна прямая, которая лежит на конусе (докажите самостоятельно) Прямую, лежащую на конусе, называют прямолинейной образующей конуса.
40.6. Однополостный гиперболоид
- поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида = 1 (ðð) (где a > 0, b > 0, c > 0).
1) По уравнению (ðð) видно, что однополостный гиперболоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.
РИС. 56 (1,2,3)
2) Сечения плоскостями z = z0 (z0- константа).
Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай z0 ³ 0.
z = 0 (плоскость (xOy)):
- эллипс с полуосями a и b;
z = z0 , z0 > 0(плоскость параллельная плоскости (xOy)):
Û
(где l > 0, l2
= 1 +
)
- эллипс с полуосями la
и lb.
При этом чем больше значение z0, тем больше значение l, то есть тем больше полуоси la и lb эллипса, который мы получаем в сечении.
Итак, в сечении однополостного гиперболоида плоскостями параллельными плоскости (xOy) или самой плоскостью (xOy) мы получаем эллипсы, при этом в сечении плоскостью (xOy) получаем эллипс с наименьшими полуосями, этот эллипс будем называть горловым эллипсом однополостного гиперболоида.
3) Сечения плоскостями x = x0 (x0- константа)..
Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай x0 ³ 0.
x = 0 (плоскость (yOz)):
- гипербола с действительной полуосью
b и мнимой полуосью c
(асимптоты гиперболы - это прямые z
=
y в плоскости (yOz));
x = x0 , 0 < x0 < a (плоскость параллельная плоскости (yOz)):
Û
(где l > 0, l2
= 1 -
)
- гипербола с действительной полуосью
lb и
мнимой полуосью lc
(асимптоты гиперболы - это прямые z
=
y
в плоскости x = x0).
При этом, чем ближе значение x0 к a, тем меньше значение l, то есть тем меньше полуоси lb и lc гиперболы, тем ближе вершины гиперболы друг к другу.
x0 = a(плоскость параллельная плоскости (yOz)):
- две пересекающиеся в точке (a,0,0)
прямые z =
y
в плоскости x = a.
x = x0 , x0 > a (плоскость параллельная плоскости (yOz)):
Û
(где l > 0, l2
=
- 1) - гипербола с действительной полуосью
lc и
мнимой полуосью lb
(асимптоты гиперболы - это прямые z
=
y
в плоскости x = x0).
При этом, чем больше значение x0, тем больше значение l, то есть тем больше полуоси lc и lb гиперболы, тем дальше вершины гиперболы друг от друга.
4) Сечения плоскостями y = y0 (случай аналогичен п. 3, рассмотреть самостоятельно)
РИС. 57 однополостный гиперболоид
Замечание.
При a = b однополостный гиперболоид является гиперболоидом вращения, получается вращением гиперболы , лежащей в плоскости (yOz), вокруг оси (Oz).