40.3. Гиперболический цилиндр

- поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида (***) (где a > 0, b > 0).

1) По уравнению (***) видно, что гиперболический цилиндр симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

2) По уравнению (***) видно, что для координат точек гиперболического цилиндра справедливы неравенства: | x |  a.

3) Сечения плоскостями z = z₀ (z₀ - константа).

Согласно пунктам 1,2 достаточно рассмотреть случай z₀ ³ 0.

(плоскость (xOy) или плоскость параллельная плоскости (xOy)):

- гипербола с действительной полуосью a и мнимой полуосью b.

То есть во всех плоскостях параллельных плоскости (xOy) и в самой плоскости (xOy) сечением гиперболического цилиндра являются равные гиперболы.

4) Сечения плоскостями x = x₀ (x₀ - константа).

Согласно пунктам 1,2 достаточно рассмотреть случай x₀  a.

x = a (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

Û - прямая;

x = x₀ , x₀ > a (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

Û (где l > 0, l² = ) - две параллельные прямые.

Заметим, что в сечении мы получаем прямые параллельные оси (Oz), то есть все эти прямые попарно параллельны (принадлежат одному параллельному пучку).

5) Сечения плоскостями y = y₀ (y₀ - константа).

Согласно пунктам 1,2 достаточно рассмотреть случай y₀ ³ 0.

y = 0 (плоскость (xOz)):

Û - две параллельные прямые;

y = y₀ , (плоскость параллельная плоскости (xOz)):

Û (где l > 0, l² = ) - две параллельные прямые.

Заметим, что в сечении мы получаем прямые параллельные оси (Oz), то есть все эти прямые попарно параллельны (принадлежат одному параллельному пучку).

РИС. 52 гиперболический цилиндр

Замечание.

Сечения плоскостями x = const и y = const - прямые из одного параллельного пучка, эти прямые называют прямолинейные образующими гиперболического цилиндра.

40.4. Параболический цилиндр

- поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида (***) (где a > 0).

1) По уравнению (***) видно, что параболический цилиндр симметричен относительно координатной плоскости (yOz) и координатной оси (Oy).

2) По уравнению (***) видно, что для координат точек параболического цилиндра справедливо неравенство: y  0, то есть параболический цилиндр расположен не левее плоскости (xOz).

3) Сечения плоскостями z = z₀ (z₀ - константа).

Согласно пунктам 1,2 достаточно рассмотреть случай z₀ ³ 0.

(плоскость (xOy) или плоскость параллельная плоскости (xOy)):

- парабола.

То есть во всех плоскостях параллельных плоскости (xOy) и в самой плоскости (xOy) сечением параболического цилиндра являются равные параболы, вершины которых лежат на оси (Oz).

4) Сечения плоскостями x = x₀ (x₀ - константа).

Согласно пунктам 1,2 достаточно рассмотреть случай x₀  0.

x = 0 (плоскость (yOz)):

- прямая - ось (Oz);

x = x₀ (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

- прямая параллельная оси (Oz)/

5) Сечения плоскостями y = y₀ (y₀ - константа).

Согласно пункту 2 достаточно рассмотреть случай y₀ ³ 0.

y = 0 (плоскость (xOz)):

Û - прямая - ось (Oz);

y = y₀ , y₀ > 0 (плоскость параллельная плоскости (xOz)):

Û - две прямые, параллельные оси (Oz).

РИС. 53 параболический цилиндр

Замечание.

Сечения плоскостями x = const и y = const - прямые из одного параллельного пучка, эти прямые называют прямолинейные образующими параболического цилиндра.