§ 38.Полярные уравнения кривых второго порядка

Пусть кривая  - это эллипс, гипербола или парабола, точка F - фокус кривой , прямая d - соответствующая этому фокусу директриса,  - эксцентриситет кривой .. Как было доказано в § 37 : M    = .

Введем полярную систему координат (,) так, чтобы точка F была полюсом, а полярная ось l была бы перпендикулярна директрисе d, и кривая g лежала бы с фокусом F по одну сторону от прямой d.

РИС. 47

Пусть M(r,j) - точка плоскости такая, что M ≠ F и M  d.

Пусть l’ - прямая, содержащая ось l,

точка N - основание перпендикуляра из точки M на прямую d (MN  d, N  d),

точка M’ - основание перпендикуляра из точки M на прямую l’ (MM’ ^ l’, M’ Î l’),

точка N’ - точка пересечения прямых l’ и d.

РИС. 48 (1, 2)

1 случай.   или   3

Из треугольника FMM’: |FM’| =  cos.

|M’N’| = |FN’| + |FM| = |FN’| +  cos

2 случай. < j < 3

Из треугольника FMM’: |FM’| = - r cos j.

|M’N’| = |FN’| - |FM| = |FN’| + r cosj

Так как |FN’| - это расстояние от фокуса кривой до директрисы, то это величина фиксированная для кривой  и однозначно определена, обозначим ее через p: |FN’| = p.

Заметим, что |MN| = | M’N’|.

Итак, для точки M справедливо следующее |MN| = p +  cos .

1) Пусть M (, ) , тогда то = .

С другой стороны |FM| = , то есть |MN| = .

Итак,  = p +  cos, откуда  = .

2) Пусть точка M(,) такова, что r = . Докажем, что она принадлежит кривой . Для этого, достаточно показать, что = e, то есть = .

Так как r = , то  -  cos = p.

Собрем слагаемые с  в одной части равенства, и разделим равенство на :

= p +  cos.

Так как |MN| = p +  cos, то мы получаем: = |MN|, то есть = e.

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Эллипс, гипербола или парабола может быть задана в полярной системе координат уравнением вида r = , где  - эксцентриситет данной кривой, p - расстояние между фокусом кривой и соответствующей этому фокусу директрисой; при этом фокус кривой является полюсом полярной системы координат.

Замечание.

В качестве параметра p иногда фокусируют другую величину, а именно |FF’|, где F’   и FF’  l’. Можно показать, что |FF’| = p, так что для параболы полярное уравнение с таким параметром будет таким же, а для эллипса и гиперболы примет вид:  = .

Упражнения.

1) Исследуйте, какие значения может принимать  в уравнении кривой второго порядка (Указание. Отдельно рассмотрите уравнения эллипса, гиперболы, параболы).

2) Выведите формулу для вычисления параметра p по каноническому уравнению кривой второго порядка.

Поверхности второго порядка

§ 39. Классификация поверхностей второго порядка

Определение. Поверхностью второго порядка в пространстве будем называть множество точек, которое в некоторой декартовой системе координат может быть задано алгебраическим уравнением второго порядка, то есть уравнением вида

a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₁₃xz + 2a₂₃yz + 2b₁x + 2b₂y + 2b₃z + c = 0 (*), где a₁₁² + a₂₂² + a₃₃² + a₁₂² + a₁₃² + a₂₃² ≠ 0.

Лемма (о корректности определения).

Понятие поверхности второго порядка не зависит от выбора декартовой системы координат, то есть если некоторое множество задается алгебраическим уравнением второго порядка в некоторой декартовой системе координат, то и в любой другой декартовой системе координат это множество задается алгебраическим уравнением второго порядка.

Доказательство.

Аналогично случаю кривых второго порядка

Теорема (о классификации поверхностей второго порядка) (Без доказательства)

Для любой поверхности второго порядка существует декартова система координат такая, что уравнение данной кривой в этой системе будет иметь один из следующих видов (и других поверхностей второго порядка не существует):

№ п.п.	уравнение	название
	= 1, a > 0, b > 0, c > 0	эллипсоид
	= 0, a > 0, b > 0, c > 0	точка (начало координат O (0, 0 ,0)
	= -1, a > 0, b > 0, c > 0	
	= 1, a > 0, b > 0, c > 0	однополостный гиперболоид
	= 0, a > 0, b > 0, c > 0	конус
	= -1, a > 0, b > 0, c > 0	двуполостный гиперболоид
	= 0, a > 0, b > 0	эллиптический параболоид
	= 0, a > 0, b > 0	гиперболический параболоид
	, a > 0, b > 0	эллиптический цилиндр
	, a > 0, b > 0	прямая (ось (Oz))
	, a > 0, b > 0	Æ
	, a > 0, b > 0	гиперболический цилиндр
	, a > 0, b > 0	две пересекающиеся плоскости ( )
	, a > 0	параболический цилиндр
	, a > 0	две параллельные плоскости ( )
	, a > 0	плоскость ( )
	, a > 0	Æ

Определение. Уравнения, указанные в таблице теоремы классификации, принято называть каноническими уравнениями поверхностей второго порядка.

Определение. Сечением поверхности второго порядка будем называть пересечение этой поверхности и некоторой плоскости.

Лемма. Любое сечение поверхности второго порядка - это кривая второго порядка.

Доказательство.

1) Рассмотрим сечение поверхности, заданной уравнением (*) плоскостью z = 0.

Ясно, что в плоскости z = 0 мы получим кривую второго порядка, заданную уравнением a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2b₁x + 2b₂y + c = 0.

2) Рассмотрим сечение поверхности второго порядка плоскостью .

Существует преобразование декартовой системы координат такое, что плоскость  будет задаваться в новой системе координат уравнением z = 0 (то есть плоскость  будет совпадать с плоскостью (Oxy)). Так что сечение поверхности второго порядка плоскостью  будет так же кривой второго порядка.

Замечание. Факт, изложенный в предыдущей лемме, лежит в основе изучения поверхностей второго порядка методом сечений. По тому, какие сечения мы можем получить, можно составить представление о форме поверхности.