31. 2. Параметрическое задание прямой

Пусть l – прямая, вектор = (m, n, k) – направляющий вектор прямой l, и пусть точка M₀(x₀, y₀, z₀) принадлежит прямой l.

Для любой точки M(x,y, z) прямой l вектор коллинеарен направленному отрезку . Так как ≠ , то существует такое число t  R, что = t . Запишем последнее равенство в координатах: x - x₀ = mt, y - y₀ = nt, z - z₀ = kt. Итак, для координат точки M справедливы равенства: (**)

Возьмем теперь точку N(x,y,z), координаты которой удовлетворяют системе (**), то есть существует такое значение t  R, при котором оба равенства в системе (**) верны для данных x, y и z.Так как = (x - y₀, y - y₀, z - z₀), то из равенства (**) следует, что = t , то есть | | , значит точка N лежит на прямой l.

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Любая прямая в пространстве в декартовой системе координат может быть задана системой вида (m² + n² + k² ≠ 0), где (m, n, k) – координаты направляющего вектора прямой, (x₀, y₀, z₀) – координат точки, принадлежащей данной прямой.

Докажем теперь и обратное.

Теорема. Любая система уравнений вида (m² + n² + k² ≠ 0) в пространстве в декартовой системе координат задает некоторую прямую, при этом (m, n, k) – координаты направляющего вектора прямой, (x₀, y₀, z₀) – координат точки, принадлежащей данной прямой.

Доказательство.

Заметим, что (x₀, y₀, z₀) - это решение системы (**) (при t = 0).

Существует прямая с направляющим вектором = (m, n, k), проходящая через точку M₀(x₀, y₀, z₀). По предыдущей теореме такая прямая задается системой (**).

Замечание.

Можно доказать две предыдущие теоремы и для аффинной системы координат в пространстве.

Определение. Систему уравнений вида (m² + n² + k² ≠ 0) будем назвать параметрическим заданием прямой, а букву t в этой системе параметром.

31.3. Каноническое уравнение прямой

(уравнение прямой по двум данным точкам).

Пусть известны две различные точки M₀(x₀, y₀, z₀) и М₁(x₁, y₁, z₁) лежащие на прямой l.

Для любой точки M(x,y,z) прямой l направленные отрезки и коллинеарны, то есть их координаты пропорциональны: = = (***)

Возьмем теперь точку N(x,y,z), координаты которой удовлетворяют равенству (***), тогда направленные отрезки и будут коллинеарными (так как их координаты пропорциональны), значит точка N будет принадлежать прямой l.

Заметим, что направленный отрезок является представителем направляющего вектора прямой, то есть координаты направленного отрезка = (x₁- x₀, y₁ -y₀, z₁ - z₀) – это координаты направляющего вектора прямой.

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Любая прямая в пространстве в декартовой системе координат может быть задана уравнением вида (****)(m² + n² + k² ≠ 0), где (m, n, k) – координаты направляющего вектора прямой, (x₀, y₀, z₀) – координат точки, принадлежащей данной прямой.

Докажем теперь и обратное.

Теорема. Любое уравнение вида (m² + n² + k² ≠ 0) в пространстве в декартовой системе координат задает некоторую прямую, при этом (m, n, k) – координаты направляющего вектора прямой, (x₀, y₀, z₀) – координат точки, принадлежащей данной прямой.

Доказательство.

Заметим, что (x₀, y₀, z₀) - это решение системы (****).

Существует прямая с направляющим вектором = (m, n, k), проходящая через точку M₀(x₀, y₀, z₀). По предыдущей теореме такая прямая задается уравнением (****).

Определение. Уравнение вида (m² + n² + k² ≠ 0) будем назвать каноническим уравнением прямой.

Упражнения.

1) Какие из точек A(0,-3, 1), B(2,1,0), C(-1, 5,4), D(1, 2, 1), O(0,0,0) лежат на прямой:

(1) ; (2) ; (3) ?

2) Напишите все три вида уравнения прямой l, если известно:

1) Прямая l проходит через точку M (2,2, -1) параллельно вектору = (-1,5,3);

2) Прямая l проходит через точку M (2,0,-2) и точку N(-4,5,0);

3) Прямая l проходит через точку M (2,-1, 4) параллельно прямой m ;

4) Прямая l проходит через точку M (0,0,1) перпендикулярно плоскости x + 4y + z – 5 = 0;

5) Прямая l проходит через точку M (2,-1, 4) параллельно прямой m, которая задана уравнением .

3) Найдите проекцию точки M(1,-1,2) на плоскость x + y - 2z = 0. (Проекцию точки на плоскость можно искать как точку пересечения прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости, и данной плоскости)

4) Найдите проекцию точки M(1,-1,2) на прямую . (Проекцию точки на прямую можно искать как точку пересечения плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой, и данной прямой).

5) Найдите точку симметричную началу координат относительно: (1) плоскости 2x - y + z + 5 = 0; (2) прямой .