§ 29. Угол между плоскостями

Пусть две плоскости  и  в декартовой системе координат заданы общими уравнениями:

: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, : A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Векторы нормалей к данным плоскостям: = (A₁, B₁, C₁) – к плоскости ,

= (A₂, B₂, C₂) – к плоскости .

Пусть  - угол между плоскостями  и .

Тогда , то есть cos  = .

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема. Пусть  - угол между двумя плоскостями, и пусть эти плоскости заданы в декартовой системе координат общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0. Тогда cos  = .

Упражнение.

1) Исследуйте взаимное расположение двух плоскостей, заданных общими уравнениями в декартовой системе координат, и заполните таблицу:

плоскости A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0	Условия на коэффициенты A1, B1, C1, D1, A2, B2, C2, D2
совпадают
параллельны
пересекаются

§ 30. Расстояние от точки до плоскости

Пусть в декартовой системе координат плоскость  задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Найдем расстояние от точки M(x₀, y₀, z₀) до плоскости .

Расстояние от точки M до плоскости  – это длина перпендикуляра HM (H  , HM  ).

Вектор и вектор нормали к плоскости  коллинеарны, так что | | = | | | | и | | = .

Пусть координаты точки H (x,y,z).

Так как точка H принадлежит плоскости , то Ax + By + Cz + D = 0 (*).

Координаты векторов и следующие: = (x₀ - x, y₀ - y, z - z₀), = (A, B, C).

| | = = = (D = -Ax – By - Cz , см. (*))

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Пусть плоскость  задана в декартовой системе координат общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Тогда расстояние от точки M(x₀, y₀, z₀) до данной плоскости вычисляется по формуле:  (M; ) = .

Упражнения.

1) Напишите уравнение сферы, касающейся плоскости 2x – y + z = 0,с центром в точке Q(1, -2, 4).

2) Напишите уравнения двух плоскостей, которые делят двугранные углы, образованные пересекающимися плоскостями x + y - z = 0 и 3x - y + 2 = 0, пополам

§ 31. Аналитическое задание прямой в пространстве

Пусть в пространстве зафиксирована декартова система координат.

31.1. Задание общими уравнениями

Пусть l – прямая.

Существуют две различные плоскости, проходящие через прямую l.

Пусть  и  - плоскости, такие, что l =   .

Пусть плоскости a и b в декартовой системе координат заданы общими уравнениями:

a: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, b: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 (векторы нормалей к данным плоскостям = (A₁, B₁, C₁) и = (A₂, B₂, C₂) не коллинеарны).

Тогда прямая l будет задаваться системой: (*)(см. § 22)

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Любая прямая в пространстве в декартовой системе координат может быть задана системой уравнений вида (так, что векторы = (A₁, B₁, C₁) и = (A₂, B₂, C₂) не коллинеарны).

Докажем теперь и обратное (то есть, что система двух линейных «непропорциональных» уравнений в декартовой системе координат задает некоторую прямую).

Теорема. Любая система уравнений вида (такая, что векторы = (A₁, B₁, C₁) и = (A₂, B₂, C₂) не коллинеарны) в пространстве в декартовой системе координат задает некоторую прямую.

Доказательство.

Каждое из двух линейных уравнений системы (*) задает в пространстве плоскость (см. §28). Векторы = (A₁, B₁, C₁) и = (A₂, B₂, C₂) - это векторы нормалей к этим плоскостям, так как векторы и не коллинеарны, то и данные плоскости не параллельны и не совпадают, то есть пересекаются. В пространстве данные две плоскости пересекаются по прямой, которая по предыдущей теореме и задается системой (*).

Замечания.

1) Можно доказать, что и в аффинной системе координат в пространстве любая прямая задается системой вида (*), и наоборот, любая система вида (*) задает прямую; но для произвольной аффинной системы координат коэффициенты в линейных уравнениях не будут задавать векторы нормалей к плоскостям.

2) Пусть прямая l = a Ç b, и плоскости a и b в декартовой системе координат заданы общими уравнениями: a: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, b: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

Тогда векторы нормалей к этим плоскостям: = (A₁, B₁, C₁) и = (A₂, B₂, C₂) - будут перпендикулярны направляющему вектору прямой, то есть вектор  можно принять за направляющий вектор прямой l.