§ 25. Угол между прямыми на плоскости

Пусть две прямые l и m на плоскости в декартовой системе координат заданы общими уравнениями: l: A₁x + B₁y + C₁ = 0, m: A₂x + B₂y + C₂ = 0

Векторы нормалей к данным прямым: = (A₁, B₁) – к прямой l,

= (A₂, B₂) – к прямой m.

Пусть  - угол между прямыми l и m.

РИС. 37

Так как углы с взаимно перпендикулярными сторонами либо равны, либо в сумме составляют , то , то есть cos  = .

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема. Пусть  - угол между двумя прямыми на плоскости, и пусть эти прямые заданы в декартовой системе координат общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0. Тогда cos  = .

Упражнения.

1) Выведите формулу для вычисления угла между прямыми, если:

(1) обе прямые заданы параметрически; (2) обе прямые заданы каноническими уравнениями; (3) одна прямая задана параметрически, другая прямая – общим уравнением; (4) обе прямые заданы уравнением с угловым коэффициентом.

2) Пусть j - угол между двумя прямыми на плоскости, и пусть эти прямые заданы декартовой системе координат уравнениями y = k₁x + b₁ и y =k₂x + b₂.

Тогда tg j = .

3) Исследуйте взаимное расположение двух прямых, заданных общими уравнениями в декартовой системе координат, и заполните таблицу:

прямые A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0	Условия на коэффициенты A1, B1, C1, A2, B2, C2
совпадают
параллельны
пересекаются

§ 26. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Пусть на плоскости в декартовой системе координат прямая l задана общим уравнением Ax + By + C = 0. Найдем расстояние от точки M(x₀, y₀) до прямой l.

Расстояние от точки M до прямой l – это длина перпендикуляра HM (H  l, HM  l).

РИС. 38

Вектор и вектор нормали к прямой l коллинеарны, так что | | = | | | | и | | = .

Пусть координаты точки H (x,y).

Так как точка H принадлежит прямой l, то Ax + By + C = 0 (*).

Координаты векторов и : = (x₀ - x, y₀ - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - By , см. (*))

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Пусть прямая l задана в декартовой системе координат общим уравнением Ax + By + C = 0. Тогда расстояние от точки M(x₀, y₀) до данной прямой вычисляется по формуле:  (M; l) = .

Упражнения.

1) Выведите формулу для вычисления расстояния от точки до прямой, если: (1) прямая задана параметрически; (2) прямая задана каноническим уравнениям; (3) прямая задана уравнением с угловым коэффициентом.

2) Напишите уравнение окружности, касающейся прямой 3x – y = 0,с центром в точке Q(-2,4).

3) Напишите уравнения прямых, делящих углы, образованные пересечением прямых 2x + y - 1 = 0 и x + y + 1 = 0 , пополам.

§ 27. Аналитическое задание плоскости в пространстве

Определение. Вектором нормали к плоскости будем называть ненулевой вектор, любой представитель которого перпендикулярен данной плоскости.

Замечание. Ясно, что если хотя бы один представитель вектора перпендикулярен плоскости, то и все остальные представители вектора перпендикулярны этой плоскости.

Пусть в пространстве задана декартова система координат.

Пусть дана плоскость , = (A, B, C) – вектор нормали к этой плоскости, точка M (x₀, y₀, z₀) принадлежит плоскости .

РИС. 39

Для любой точки N(x, y, z) плоскости  векторы и ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю: = 0. Запишем последнее равенство в координатах: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0.

Пусть -Ax₀ - By₀ - Cz₀ = D, тогда Ax + By + Cz + D = 0.

Возьмем точку К (x, y) такую, что Ax + By + Cz + D = 0. Так как D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀, то A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0. Так как координаты направленного отрезка = (x - x₀, y - y₀, z - z₀), то последнее равенство означает, что ^ , и, следовательно, K  .

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Любую плоскость в пространстве в декартовой системе координат можно задать уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0 (A² + B² + C² ≠ 0), где (A, B, C) – координаты вектора нормали к этой плоскости.

Верно и обратное.

Теорема. Любое уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 (A² + B² + C² ≠ 0) в декартовой системе координат задает некоторую плоскость, при этом (A, B, C) – координаты вектора нормали к этой плоскости.

Доказательство.

Возьмем точку M (x₀, y₀, z₀) такую, что Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0 и вектор = (A, B, C) ( ≠ ).

Через точку M перпендикулярно вектору проходит плоскость (и при том только одна). По предыдущей теореме эта плоскость задается уравнением Ax + By + Cz + D = 0.

Определение. Уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 (A² + B² + C² ≠ 0) называется общим уравнением плоскости.

Пример.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (0,2,4), N (1,-1,0) и K (-1,0,5).

1. Найдем координаты вектора нормали к плоскости (MNK). Так как векторное произведение  ортогонально не коллинеарным векторам и , то вектор коллинеарен  .

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

 = ,

 = (-11, 3, -5).

Итак, в качестве вектора нормали возьмем вектор = (-11, 3, -5).

2. Воспользуемся теперь результатами первой теоремы:

уравнение данной плоскости A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0, где (A, B, C) – координаты вектора нормали, (x₀, y₀, z₀) – координаты точки лежащей в плоскости (например, точки M).

-11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

-11x + 3y – 5z + 14 = 0

Ответ: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Упражнения.

1) Напишите уравнение плоскости, если

(1) плоскость проходит через точку M (-2,3,0) параллельно плоскости 3x + y + z = 0;

(2) плоскость содержит ось (Ox) и перпендикулярна плоскости x + 2y – 5z + 7 = 0.

2) Напишите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.