§ 17. Ориентация пространства Vn.

Пусть и ’ – базисы пространства Vⁿ.

Определение. Будем говорить, что базисы и ’ одинаково ориентированы, если матрица перехода от базиса к базису ’ имеет положительный определитель, то есть, det A > 0 , где A - матрица перехода от к ’.

Обозначение: ~ ’ – «базисы и ’ ориентированы одинаково»

Замечание. Так как определитель матрицы перехода от одного базиса к другому не равен нулю, то он либо положителен (и базисы тогда одинаково ориентированы), либо отрицателен (базисы, соответственно, ориентированы не одинаково). Так, что на множестве всех базисов отношение «быть одинаково ориентированными» - это бинарное отношение.

Теорема. На множестве всех базисов пространства отношение «быть одинаково ориентированными» - это отношение эквивалентности.

Доказательство.

1) Рефлексивность.

Любой базис пространства Vⁿ ориентирован сам с собой одинаково, так как матрица перехода в этом случае единичная и ее определитель равен единице, то есть положителен.

2) Симметричность.

Пусть и ’ – базисы пространства Vⁿ такие, что ~ ’.

Пусть A – матрица перехода от к ’, B – матрица перехода от ’ к .

Так как ~ ’, то det A > 0. Так как det B = (det A)^-1 (см. § 14), то det B > 0, то есть ’ ~ .

3) Транзитивность.

Пусть , ’и ’’ – базисы пространства Vⁿ такие, что ~ ’ и ’ ~ ’’.

Пусть A – матрица перехода от к ’, B – матрица перехода от ’ к ’’.

Тогда AB – матрица перехода от базиса к базису ’’.

Так как det A > 0, det B > 0 и det AB = det A det B (см. §14), то det AB > 0 и ~ ’’.

Определение. Ориентацией пространства Vⁿ будем называть класс эквивалентности одинаково ориентированных базисов пространства Vⁿ.

Выбрать ориентацию – означает выбрать один из этих классов.

Определение. Ориентацией системы координат  в Eⁿ будем называть, ориентацию пространства Vⁿ, представителем которой является базис данной системы координат.

Определение. Ориентацией Eⁿ, в котором введена аффинная система координат , будем называть, ориентацию .

То есть ориентацию в Eⁿ задает фиксированная аффинная система координат.

Теорема. Ориентаций пространства Vⁿ ровно две.

Доказательство.

1) Докажем, что ориентаций, по крайней мере, две (то есть две или больше).

Достаточно предъявить два базиса пространства Vⁿ, которые ориентированы не одинаково.

Пусть , ’ – базисы пространства Vⁿ, такие, что e₁’ = -e₁, e₂’ = e₂, … e_n’ = e_n.

Тогда матрица перехода от к ’ – матрица A = , определитель этой матрицы det A = -1 < 0, то есть базисы и ’ ориентированы не одинаково.

2) Докажем, что ориентаций не более двух (то есть две или меньше).

Достаточно показать, что не существует трех базисов пространства Vⁿ, которые попарно ориентированы не одинаково.

Пусть , ’и ’’ – базисы пространства Vⁿ такие, что и ’, ’ и ’’ ориентированы не одинаково. Докажем, что базисы и ’’ ориентированы одинаково.

Пусть A – матрица перехода от к ’, B – матрица перехода от ’ к ’’.

Тогда AB – матрица перехода от базиса к базису ’’.

Так как det A < 0, det B < 0 и det AB = det A× det B (см. §14), то det AB > 0 и ~ ’’.

Замечания

1) О правых и левых тройках векторов.

Стандартный базис в декартовой системе координат в пространстве определяет класс эквивалентности одинаково ориентированных базисов, каждый из которых иногда называют правой тройкой. Геометрически это можно описать так: если три вектора этого базиса отложить от одной точки, то «поворот от первого вектора ко второму вдоль третьего вектора» подчиняется правилу правой руки. Есть и другие геометрические описания правила правой руки, которые можно найти в большинстве учебников по аналитической геометрии. Базис Vⁿ , который не являе6тся правой тройкой, принято называть левой тройкой. Векторы левой тройки подчиняются правилу левой руки. Ясно, что ни одна из этих двух ориентаций (правые тройки, левые тройки) не является предпочтительной, они равноправны, но исторически сложилось так, что стандартной ориентацией считают ориентацию правой тройки.

2) Так как ориентаций пространства Vⁿ ровно две, то можно говорить о двух базисах, которые ориентированы не одинаково, что они ориентированы противоположно.

Упражнение.

Меняется ли ориентация плоскости, на которой введена декартова система координат, при: (1) при параллельном переносе системы координат; (2) при повороте системы координат вокруг начала координат; (3) при симметрии системы координат относительно координатной оси; (4) при симметрии системы координат относительно биссектрис первой и третьей четвертей?