3.8.1.Дифференциальные уравнения для элементов и систем

Вывод дифференциальных уравнений элементов системы – сложная творческая работа, при которой допускаются определенная идеализация процесса, пренебрежение отдельными факторами, рассмотрение частных случаев и т.д.

Математические описания элементов и систем осуществляются на основе физических, электрических, механических и др. законов, на которых основана работа элементов.

Учитывая сложность математического описания динамики процессов в элементах, часто прибегают к упрощенным уравнениям, с помощью которых получают приближенные решения исходной задачи.

Анализ линейных систем существенно проще, чем анализ нелинейных систем. Поэтому часто применяют линеаризацию нелинейных уравнений, то есть приведение нелинейных уравнений к линейным. Линеаризация основана на том, что в динамическом процессе автоматической системы все переменные изменяются так, что их отклонения от установившихся значений все время достаточно малы. Такое допущение справедливо, так как цель любой автоматической системы состоит в том, чтобы не допустить отклонений регулируемой величины (а значит, и всех параметров) от заданного значения. Основная идея метода линеаризации заключается в разложении исходного уравнения в ряд Тейлора в окрестности некоторой базовой точки, соответствующей заданному значению регулируемой величины, и вычитания из полученного уравнения в приращениях уравнения для установившего состояния. Таким образом, получают новое приближенное уравнение, которое отличается от исходного нелинейного тем, что входящие в него переменные заменены их малыми приращениями.

Геометрическая интерпретация метода линеаризации нелинейной функции x_вых =f(x_вх) представлена на рисунке 3.13.

Рис 3.13. Линеаризация нелинейности.

Преобразование первоначальной нелинейной функции путем разложения в ряд Тейлора в окрестности точки А с координатами x_{вх 0} и x_{вых 0} и вычитания уравнения для установившегося режима равносильно замене исходной кривой на касательную, проведенную через точку установившегося режима.

При этом замена кривой на касательную всегда происходит с ошибкой (на рис. 3.13 заштрихована), величина которой увеличивается с увеличением отклонения аргумента от базового значения. Как видно, чем меньше ∆x, тем меньше ошибка линеаризации. С другой стороны возможность линеаризации тем шире, чем ближе линеаризуемая кривая к прямой.

При невозможности линеаризации пользуются методом решения нелинейных уравнений.

Наиболее сложной задачей является составление математического описания объекта регулирования (управления). Начинают описания с нахождения уравнений его материального или энергетического балансов (за бесконечно малый промежуток времени dt), выявления кинетических закономерностей, гидродинамических условий и т.п.

Составим математическое описание смесителя постоянного объема V, обеспечивающего идеальное перемешивание жидкости (рис. 3.14).

Рис 3.14. схемы смесителя двух жидкостей (а) и его динамических каналов (б).

В смеситель подаются жидкости, расходы и концентрации которых соответственно равны F₁, Q₁ и F₂ , Q₂. Выходной величиной смесителя является состав жидкости Q в смесителе и на выходе из него, а входными переменными – величины потоков на входе F₁ и F₂, а также концентрация Q₁. Причем Q₁ > Q >Q₂.

Для нахождения уравнения динамики смесителя составим полный материальный баланс, а также материальный баланс с учетом концентрации вещества в каждом потоке за промежуток времени dt.

F₁ + F₂ =F, (3.14)

F₁Q₁ ·dt+ F₂ Q₂·dt =V·dQ+ FQ·dt, (3.15)

где F – расход жидкости на выходе из смесителя. Преобразуем уравнение (3.15) с учетом (3.14.)

V∙	dQ	+( F1 + F2) ·Q = F1·Q1+ F2·Q2	(3.16)
	dt

Данное уравнение нелинейно, т. к. три его слагаемых представляют собой произведение переменных величин. Линеаризуем его, заменив каждую переменную на сумму базисного значения и приращения. Получим:

V	d∆Q	+ F10·Q+F10·∆Q0+Q0·∆F1+ F20·Q0+F20·∆Q+Q0·∆F2=	(3.17)
	dt
		=F10·Q10+F10·∆Q1+ Q10·∆F1+ F20·Q2+ Q2·∆F2

где базисные значения, обозначены теми же буквами, что и сами переменные, но с индексом нуль, и характеризуют равновесное состояние.

Уравнение смесителя при равновесном состоянии имеет вид

F₁₀Q₀+ F₂₀·Q₀=F₁₀·Q₁₀+ F₂₀·Q₂ (3.18)

Вычтем почленно уравнение (3.14) из уравнения (3.13), одновременно учитывая, что F₁₀+F₂₀= F₀ , и найдем уравнение смесителя в приращениях

V	d∆Q	+ F0 ∆Q = F10·∆Q1+( Q10 - Q0 )·∆F1 - ( Q0 - Q2 ) ·∆F2.	. (3.19)
	dt

Из этого уравнения следует, что концентрация вещества Q в смесители возрастает с увеличением Q₁ и F₂, т.к. Q₁₀ > Q₀, и понижается с увеличением F₂, т.к. Q₀ > Q₂ по условию.

Подставляя в уравнение (3.15.) относительные величины

y=	∆Q	; z=	∆Q1	; х1=	∆F1	; х2=	∆F2	,
	Q0		Q10		F10		∆F20

получим:

VQ0	dу	+ F0Q0 у= F10·Q10 z+( Q10 −Q0 ) · F10· x1−(Q0 −Q2) · F20· x2	. (3.20)
	dt

Разделив все слагаемые уравнения (3.20) на сомножители F₀Q₀, окончательно найдем

Т0	dу	+ у =k1 · z +k2· х1 − k3· х2	(3.21)
	dt

где Т₀ = V/F₀ – постоянная времени объекта; k_1, k_{2 ,} k_3, - коэффициент усиления по каналам Q₁ − Q₀ , F₁ – Q , F₂ – Q .

к1=	F10 Q10	, К2=	F10 (Q10 − Q0)	, К3=	F20 (Q0 − Q2)	.
	F0 Q0		F0 Q0		F0 Q0

Таким образом, по всем трем каналам прохождения сигналов рассматриваемый смеситель представляет собой устойчивый объект 1-го порядка; его устойчивость объясняется наличием внутренней обратной связи.

Уравнение динамики смесителя в операторной форме будет:

(Т₀ р +1) у = k₁·z + k₂·х₁ − k₃·х₂ . (3.22)

Передаточная функция объекта по его каналам описывается равенствами:

W1(p)=	к1	, W2(p)=	К2	, W3(p)=	К3	.
	(Т0р +1)		(Т0р +1)		(Т0р +1)

Уравнению (3.22) соответствует структурная схема, приведенная на рис. 3.15.

Подробнее об операторной форме уравнения (3.22) и понятие передаточной функции будет рассмотрено в разделе 3.8.2.

Рис. 3.15. Структурная схема смесителя двух жидкостей

В общем случае элементы и системы автоматического регулирования могут описываться линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами следующего вида:

а0	d n хвых	+ a1	d n-1 хвых	+…+an-1	d хвых	+ an ∙хвых =
	dtn		dt n-1		dt
=b0	d m хвх	+ b1	d m-1 хвх	+…+bm-1	d хвх	+ bn ∙хвых	, (3.23)
	dt m		dt m-1		dt

при этом в реальных системах n > m.