2. Построение математической модели. Это этап формализации экономической проблемы, т. е. выражения ее в виде конкретных математических зависимостей (функ­ций, уравнений, неравенств и др.). Построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий. Сначала определяется тип экономико-математической модели, изучаются возможности ее применения в данной задаче, уточняются конкретный пере­чень переменных и параметров и форма связей. Для некоторых сложных объектов целе­сообразно строить несколько разноаспектных моделей, при этом каждая модель выделя­ет лишь некоторые стороны объекта, а другие стороны учитываются агрегированно и приближенно.

3. Математический анализ модели. На этом этапе чисто математическими прие­мами исследования выявляются общие свойства модели и ее решений. В частности, важным моментом является доказательство существования решения сформулированной задачи. При аналитическом исследовании выясняется, единственно ли решение, какие переменные могут входить в решение, в каких пределах они изменяются, каковы тен­денции их изменения и т. д. Однако модели сложных экономических объектов с боль­шим трудом поддаются аналитическому исследованию; в таких случаях переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации. В экономических задачах это чаще всего наиболее трудоемкий этап моделирования. Математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации, при этом надо принимать во внимание не только принципиальную возможность подготовки информации требуемого качества, но и затраты на подготовку информационных массивов. В процессе подготовки информа­ции используются методы теории вероятностей, теоретической и математической стати­стики для организации выборочных обследований, оценки достоверности данных и т. д. При системном экономико-математическом моделировании результаты функциониро­вания одних моделей служат исходной информацией для других.

5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов численного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ и непосредственное проведение расче­тов. Обычно расчеты на основе экономико-математической модели носят многовари­антный характер. Многочисленные модельные эксперименты, изучение поведения мо­дели при различных условиях возможно проводить благодаря высокому быстродейст­вию современных ЭВМ. Численное решение существенно дополняет результаты анали­тического исследования, а для многих моделей оно является единственно возможным.

6. Анализ численных результатов и их применение. На этом этапе прежде всего решается важнейший вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и применимости их как в практической деятельности, так и в целях усовершенствования модели. Поэтому в первую очередь должна быть проведена проверка адекватности мо­дели по тем свойствам, которые выбраны в качестве существенных. Применение чис­ленных результатов моделирования в экономике направлено на решение практических задач (анализ экономических объектов, экономическое прогнозирование развития хо­зяйственных и социальных процессов, выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии).

5. Программное обеспечение экономико-математического моделирования

Внедрение экономико-математического моделирования в деятельность экономи­ческой службы предприятия сопряжено с необходимостью упорядочения и соответст­вующей обработкой больших массивов исходной информации. Кроме того, построение

10

моделей и расчет на их основе различных вариантов прогнозов выглядит достаточно трудоемкой с технической точки зрения процедурой.

Современные компьютерные технологии сбора и обработки информации в соче­тании с соответствующим программным обеспечением позволяют максимально автома­тизировать «техническую» сторону экономико-математического моделирования и про­гнозирования экономических процессов.

С развитием вычислительной техники в практике хозяйственной деятельности предприятий находят все большее применение разнообразные готовые компьютерные модели, которые предназначены для решения различных задач прикладного характера (анализа, прогнозирования, планирования). Такое моделирование называют компъю- терн ым модел про ван нем.

Наиболее удобной современной формой организации компьютерного моделиро­вания, которая позволяет эффективно проводить обработку экономической информации и отбирать соответствующие экономико-математические модели, является использова­ние различных пакетов прикладных программ (ППП). Основное назначение пакетов прикладных программ — дать пользователю средство обработки информации, которое не требует знаний языков программирования и организуется в форме диалога между че­ловеком и персональной ЭВМ. Это могут быть ППП для формирования различных до­кументов с выполнением расчетных операций, ППП для задач оптимизации планов, ППП балансовых задач, ППП для создания автоматизированных информационных сис­тем и др.

На современном весьма конкурентном рынке программных средств несомненное лидерство занимает пакет, объединивший в одном названии целое семейство продуктов фирмы Microsoft — Microsoft Office (MS Office). К числу наиболее значимых досто­инств, определивших столь высокую популярность пакета Microsoft Office, можно отне­сти следующие:

во-первых, пакет MS Office — это инструмент решения задач, а не специализиро­ванный программный продукт для автоматизации конкретной функции в конкретном офисе (типа АРМ для бухгалтера, плановика и т.д.). Экономисты, овладев методами ра­боты в этом пакете, получают возможность оперативно вносить изменения в техноло­гию обработки информации (в случае изменения действующих нормативных докумен­тов или появления новых) и самостоятельно проектировать новые таблицы, графики, расчеты и прогнозы;

во-вторых, возможности данного пакета таковы, что его средствами можно ре­шить практически любую экономическую задачу;

в-третьих, строго проведенная унификация пользовательского интерфейса компо­нентов пакета позволяет пользователю быстро их освоить, не тратя времени на изучение непривычных терминов и команд;

в-четвертых, компоненты MS Office не только унифицированы, но и хорошо ин­тегрированы как между собой (т.е. перенос данных из одного компонента в другой про­изводится легко), так и с другими пакетами и прикладными программами, если они мо­гут передавать информацию в форматах FoxPro, dBase, Paradox (экспорт-импорт фай-

Пакет Microsoft Office объединяет несколько программ, основными из которых являются:

• текстовый процессор MS Word, который используется для создания текстовых документов (писем, отчетов, книг и т.д.);

11

• система электронных таблиц MS Excel, которая позволяет проводить числовой анализ и представлять данные в наглядной форме;

• система управления базами данных MS Access.

Несомненным преимуществом использования этих программ является то обстоя­тельство, что экономист освобождается от непосредственной вычислительной работы, привлекая при этом такие методы анализа и прогнозирования (многофакторной регрес­сии, факторного и компонентного анализов и т.д.), которые практически не могут быть реализованы методами ручного счета. Однако интерпретация полученных результатов всецело зависит от знаний и опыта пользователя. Поскольку принятие хозяйственных решений остается за руководителем предприятия, то знание и понимание основных ме­тодов моделирования и прогнозирования поведения экономических систем являются важными условиями успешного применения мощного программного обеспечения в по­вышении эффективности деятельности каждого предприятия.

В настоящее время существуют такие мощные компьютерные пакеты, как Math- CAD, Mathematica, Mathlab, Maple, Derive, Theorist и т. д.

Лекция 2. Система экономико-математических моделей оптимального планирования и управления

Учебные вопросы

1. Понятие оптимизационных задач и оптимизационных моделей.

2. Методика построения оптимизационной модели.

3. Основные типы линейных экономико-математических моделей.

1. Понятие оптимизационных задач и оптимизационных моделей

Оптимизационными задачами в экономике называются экономико­математические задачи, цель которых состоит в нахождении наилучшего (оптимально­го) с точки зрения некоторого критерия (критериев) варианта использования имею­щихся ресурсов (материальных, временных и пр.).

Общая структура оптимизационной модели состоит из целевой функции, прини­мающей значения в пределах ограниченной условиями задачи области (области допус­тимых решений), и из ограничений, характеризующих эти условия.

Целевая функция в самом общем виде определяется тремя моментами: управляе­мыми переменными; неуправляемыми переменными (зависящими, например, от внеш­ней среды); видом (формой) зависимости между ними (видом функции).

Целевая функция связывает между собой различные величины модели. Как пра­вило, в качестве цели выбирается экономический показатель (прибыль, рентабельность, себестоимость, валовая продукция и т. д.). Поэтому целевую функцию иногда называют экономической, критериальной.

Критерий оптимальности - признак, на основании которого производится оцен­ка, сравнение альтернатив, классификация объектов и явлений. Критерий оптимально­сти функционирования экономической системы - это один из возможных критериев (признаков) ее качества, а именно тот признак, по которому функционирование системы признается наилучшим из возможных вариантов ее функционирования. В сфере приня­тия экономических решений критерий оптимальности - это показатель, выражающий

12

предельную меру экономического эффекта принимаемого хозяйственного решения для сравнительной оценки возможных решений выбора наилучшего из них.

Математической формой критерия оптимальности в экономико­математических моделях является целевая функция, экстремальное значение которой характеризует предельно допустимую эффективность деятельности моделируемого объ­екта. Одни из критериев - максимизируемые, другие - минимизируемые. Из минимизи­руемых критериев можно выделить такие, как: критерий совокупных затрат труда всех видов, себестоимость продукции и т.д.; из максимизируемых критериев - число наборов конечных продуктов, валовая, конечная, чистая и условно чистая продукция, прибыль, рентабельность и др.

Если обозначить критерий оптимальности через U, управляемые переменные - Х = /(х), параметры - 1> = (/->,.), заданные пределы (область) изменения управляемых переменных - М, то общий вид оптимизационной модели будет следующим:

U = f\X,P)^>ext\ max ёёё min .

• ' I ) (2-1)

X gM.

Система ограничений состоит из отдельных математических уравнений или нера­венств, называемых балансовыми уравнениями или неравенствами.

Ограничения подразделяются на:

а) линейные (I и II) и нелинейные (III и IV) (рисунок 2.1) (линейными называются такие зависимости, в которые переменные входят в первой степени и с ними выполня­ются только действия сложения или вычитания; если же переменные входят не в первой степени или с ними выполняются другие действия, то зависимости являются нелиней­ными);

б) детерминированные (А, В) и стохастические (группы кривых С,) (стохастиче­ские ограничения являются возможными, вероятностными, случайными) (рисунок 2.2).

Рисунок 2.1- Линейные и нелинейные Рисунок 2.2 - Детерминированные и ограничения стохастические ограничения

Оптимизационные задачи вида (2.1) решаются методами математического про­граммирования. Существуют следующие основные методы математического про­граммирования:

• методы линейного программирования требуют наличия системы взаимоувязан­ных факторов, критерия оценки оптимальности использования ресурсов, позволяют вы­брать наилучшие способы использования имеющихся ресурсов;

13