Восстановление функции по ее полному дифференциалу
Пусть
функции
и
и их частные производные
и
непрерывны в замкнутой односвязной
области
и пусть во всех точках этой области
выполняется условие:
,
тогда выражение
является в области
полным дифференциалом некоторой функции
,
причем все такие функции могут быть
найдены по формуле:
, (1)
где - произвольно зафиксированная точка в области , а C – произвольная постоянная.
Как показывает
формула (1), для нахождения функции
по
её полному дифференциалу достаточно в
области (D)
взять произвольную точку
и вычислить интеграл
вдоль кусочно-гладкой
линии, лежащей в области
и соединяющей точку
с любой другой точкой
.
Так как значения этого интеграла не зависят от формы пути интегрирования, то мы можем выбрать линию интегрирования каким-либо специальным образом.
Вычисления часто упрощаются, если в качестве линии интегрирования взять ломаную линию, звенья которой параллельны осям координат.
Рис.6.
Разумеется, при этом ломаную линию надо проводить так, чтобы она не вышла из области (рис.6).
Например:
,
.
Или
,
.
Точка в пределах области может быть взята какой угодно. На практике ее выбирают так, чтобы вычисления интегралов по возможности упростились.
Задача о работе плоского силового поля
Пусть
на координатной плоскости
дана некоторая область
и пусть с каждой точкой
области
связан определенный вектор
,
представляющий
собой силу, действующую на находящуюся
в точке
массу. В таком случае говорят, что в
области
задано плоское силовое поле
.
пусть, далее, под действием силы поля
материальная точка движется по некоторой
кривой
,
и требуется вычислить работу
данного силового поля при перемещении
материальной точки по линии
из точки
в точку
.
Для решения поставленной задачи разобьем
дугу
произвольным образом на
частей с помощью точек
,
располагающихся в направлении от точки
к точке
.
Обозначим:
,
а координаты точек деления – через
.
На
каждой частичной дуге
возьмем произвольную точку
.
Впишем в дуги
ломаную, соединяя прямолинейными
отрезками каждые две соседние точки
и
и что на всем этом участке
дуга замена хордой
и что на всем этом участке действует
постоянная по величине и направлению
сила
,
то работа
силы
на прямолинейном участке
выразится формулой
,
где
- угол между векторами
и
,
представляющим соответственно направление
силы и направление пути. Так как проекции
вектора
на
и
соответственно равны
и
,
а правая часть выражения для
представляет собой скалярное произведение
векторов
и
,
то
можно выразить через сумму произведения
координат:
.
Для работы
по ломанной
мы будем иметь выражение
.
Будем
теперь неограниченно увеличивать число
делений дуги
,
так, чтобы
{длина
дуги
}
стремилась к нулю. Если при этом
последовательность
будет иметь предел, не зависящий ни от
способа разбиения дуги
,
ни от выбора точек
на частичных дугах, то этот предел мы
примем за работу данного силового поля
при перемещении материальной точки по
дуге
:
Если
существует такая функция
,
для которой справедливо равенство:
и, следовательно,
то поле,
задаваемое силой
,
называется потенциальным или
консервативным, сама функция
называется
силовой или потенциальной, а также
потенциалом поля. Для потенциального
поля будем иметь:
.
Последнее равенство показывает, что работа силы в потенциальном поле при движении материальной точки в этом поле равна разности значений потенциала в конце и в начале кривой , вдоль которой работает сила, и, следовательно, не зависит от формы кривой.