Признак полного дифференциала
Исследуем
вопрос, когда выражение
является полным дифференциалом, т.е.
существует такая функция
,
полный дифференциал которой равен
:
. (1)
Теорема. Если функции и непрерывны и имеют непрерывные производные и в некоторой замкнутой ограниченной односвязной области , то необходимым и достаточным условием, при котором выражение в области представляет полный дифференциал некоторой функции, является тождественное выполнение в этой области равенства: .
Доказательство.
Необходимость.
Предположим, что существует функция
,
такая, что в области
всюду выполняется равенство (1). Из (1)
вытекает
,
,
так как равенство (1) на самом деле
означает, что
при любых
сколь угодно малых
и
.
В частности, при
и наоборот, при
.
Из
.
Достаточность.
Пусть выполнено условие (0). В этом случае
криволинейный интеграл
не зависит от формы пути интегрирования
и вполне определяется заданием начальной
и конечной
точек. Начальную точку
зафиксируем, а точку
будем считать переменной в области
.
Тогда криволинейный интеграл
будет некоторой функцией от двух
переменных
и
.
Обозначим эту функцию:
.
Оставляя
без изменения, дадим
приращение
,
удовлетворяющее только одному требованию:
точка
принадлежит области
(рис.5). Соответствующее частное приращение
функции
будет
.
Поскольку величина криволинейного интеграла не зависит от формы пути
Рис.5.
интегрирования, то будем
рассматривать интеграл
по какой-нибудь кусочно-гладкой кривой
,
а интеграл
по кривой
,
состоящего из выбранной кривой
и прямолинейного отрезка
,
параллельного оси
.
,
так
как на отрезке
значение
постоянно.
Учитывая,
что уравнение прямой
есть
,
имеем
(криволинейный интеграл выразили через
обыкновенный определенный интеграл).
Применяя к полученному обыкновенному
интегралу теорему о среднем, получим
.
Устремим
.
В силу непрерывности функции
в области
имеем:
.
Следовательно, предел отношения
при
также
существует. А это означает, что функция
в точке
имеет частную производную по
:
,
причем
.
Поскольку точка
была выбрана в области
произвольно, то последнее равенство
верно для всех точек этой области. т.е.
.
Совершенно аналогично доказывается,
что в любой точке
существует частная производная
,
причем
.
Так как функции
и
непрерывны в области
,
то частные производные
и
тоже непрерывны в
.
Отсюда следует, что в каждой точке
области
функция
дифференцируема и полный дифференциал
ее равен
,
что и требовалось доказать.
Замечание 1. Функцию переменных , полный дифференциал которой равен подынтегральному выражению , называют первообразной для этого выражения.
Замечание
2. Найденная
функция
является не
единственной первообразной для
.
Такими функциями будут и функции вида
,
где
- произвольная константа. Причем функция
есть общее выражение первообразной для
в области
.
Пусть
- любая первообразная для
,
то есть
.
Но
,
,
т.е. первообразная
получается из
при некотором значении постоянной
.
Замечание 3. При выполнении условия
(0)
для
криволинейных интегралов имеет место
аналог формулы Ньютона-Лейбница, т.е.
,
где
- первообразная по отношению к
подынтегральному выражению
,
т.е.
.
Доказательство.
При
выполнении условия (0) функция
будет первообразной,
а любая другая первообразная выразится
формулой
.
Причем, так как
,
то
,
т.е.
,
где
- любая первообразная. Полагая
,
получим требуемую формулу.
Замечание 4. Условие (0) часто называют условием интегрируемости выражения .
Следствие.
Если в некоторой замкнутой ограниченной
односвязной области
заданы две функции
и
,
непрерывные со своими частными
производными
,
то для того, чтобы криволинейный интеграл
не зависел от формы
пути интегрирования в области
,
необходимо и достаточно, чтобы в этой
области подынтегральное выражение
являлось полным дифференциалом.
Доказательство. Действительно, необходимым и достаточным условием независимости криволинейного интеграла от формы и пути интегрирования и необходимым и достаточным условием того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции двух переменных, является выполнение одного и того же условия: , т.е. вопрос о независимости криволинейного интеграла от формы пути интегрирования равносилен вопросу об условиях, при которых выражение является полным дифференциалом.