Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Пусть в некоторой области плоскости определены и непрерывны функции и . Возьмем в этой области любые две точки и . Будем соединять взятые точки различными кусочно-гладкими кривыми , целиком лежащими в области , и по ним вычислять криволинейный интеграл .

Мы получим, вообще говоря, различные значения интеграла . Но в некоторых случаях криволинейный интеграл может иметь одинаковые значения вдоль всех кривых, соединяющих фиксированные точки и .

Определение. Если значения криволинейного интеграла по всевозможным кусочно-гладким кривым, целиком лежащим в данной области и имеющим общее начало и общий конец, одинаковы, то говорят, что интеграл не зависит от пути интегрирования.

Возникает вопрос: при каких условиях криволинейный интеграл не зависит от формы пути интегрирования, а зависит (при заданном подынтегральном выражении ) только от положения начальной и конечной точек? К выяснению этих условий мы и перейдем. Прежде всего докажем теорему, которая позволит нам заменить поставленный вопрос равносильным вопросом, решение которого мы затем уже сможем получить.

Теорема 1. Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависит от формы пути интегрирования в некоторой области , необходимо и достаточно, чтобы он по всякому замкнутому контуру, не пересекающему себя и целиком лежащему в этой области, равнялся нулю.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что значение криволинейного интеграла не зависит от формы пути интегрирования в области . Докажем, что тогда этот интеграл равен нулю по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в области .

Пусть - любой, не пересекающий себя замкнутый контур в области . Возьмем на нём две произвольные точки и , эти точки разобьют контур на две части и , каждая из которых есть путь, соединяющий точку с точкой Рис.3.

(Рис.3).Согласно допущению имеем:

, что и требовалось доказать.

Достаточность. Пусть теперь, наоборот, дано, что интеграл по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в области , равен нулю. Докажем, что этот интеграл не зависит от формы пути интегрирования. Возьмем в области две любые точки и . Соединим эти точки двумя различными кривыми и , лежащими в области и не имеющими общих точек. Эти кривые образуют в своей совокупности замкнутый контур . Согласно предположению

, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Пусть функции и определены и непрерывны вместе со своими частными производными и в замкнутой ограниченной односвязной области . Тогда для того, чтобы криволинейный интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру , лежащему в области , был равен нулю: , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области выполнялось условие:

. (0)

Доказательство. Достаточность. Предположим, что во всех точках области выполняется условие (0). Пусть - какой угодно замкнутый кусочно-гладкий контур, целиком лежащий внутри области . обозначим через область, ограниченную контуром извне. По формуле Грина:

.

Необходимость. Предположим, что криволинейный интеграл вида равен нулю по любому замкнутому контуру , лежащему в области . Покажем, что тогда в каждой точке области выполняется условие (0). Будем доказывать это методом от противного. Допустим, что хотя бы в одной точке области условие (0) не выполняется, т.е. разность

.

Пусть, для определенности . По условию функции и непрерывны в . Следовательно, непрерывна в и функция . Это значит, существует такая окрестность точки , во всех точках которой выполняется неравенство . Возьмём в этой окрестности какой-нибудь кусочно-гладкий замкнутый контур . Область, ограниченную этим контуром, обозначим через . Тогда по формуле Грина .

К двойному интегралу в правой части применим теорему о среднем значении для двойных интегралов. , где , а есть площадь области .

Так как во всех точках области , то .

.

Это противоречит предположению. А значит, таких точек в , где , нет.

Замечание. Условие односвязности области при доказательстве теоремы 2 является существенным, т.е. эта теорема не справедлива для областей с «дырками» (рис.2):

Рис.4.

Следствие. Пусть в замкнутой ограниченной односвязной области функции и непрерывны и имеют непрерывные частные производные и . Тогда, для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от формы пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке области выполнялось равенство (0).

Необходимость. Если в интеграл не зависит от пути интегрирования , то тогда по теореме 1 имеем для любого замкнутого контура . Отсюда, по теореме 2 следует требуемое равенство.

Достаточность. Если в , то по теореме 2 , по теореме 1 следует, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования.

Замечание. Если интеграл не зависит от формы пути интегрирования, то его часто обозначают: или .