Связь между криволинейными интегралами обоих типов

Рассмотрим гладкую кривую и, выбрав в качестве параметра дугу , представим ее уравнение

.

По предположению о гладкости кривой функции и имеют непрерывные производные .

Если через обозначить угол, составленный с осью касательной, направленной в сторону возрастания дуг, то:

Если вдоль кривой задана непрерывная функция , то последовательно имеем

,

Криволинейный интеграл второго типа оказался сведенным к криволинейному интегралу первого типа.

Аналогично получается . Если же заданы две непрерывные вдоль кривой функции и , то

.

Подчеркнем, что во всех этих формулах угол связан с тем направлением касательной, которое отвечает направлению самой кривой (K). Если изменить направление самой кривой, то не только интеграл изменит знак: ввиду изменения направления касательной угол изменится на , в связи с чем изменит знак и интеграл справа.

Аналогичные соображения справедливы и для криволинейных интегралов по пространственной кривой. В результате получается формула:

,

где - есть направляющие косинусы касательной в предположении, что ее направление отвечает направлению пути интегрирования.

Глава 3. Основные свойства криволинейных интегралов Формула Грина

Пусть в плоскости задана область (рис.2), ограниченная замкнутым контуром . Предположим, что прямые, параллельные осям и , пересекает контур не более чем в двух точках, так что контур можно описать любым из следующих двух способов:

Рис.2.

Пусть в области заданы функции , непрерывные вместе со своими производными первого порядка.

Рассмотрим интеграл . Представляя его в виде двукратного, получим:

.

Интегралы в правой части последнего выражения являются криволинейными интегралами второго типа, взятыми соответственно по верхней и нижней частями контура . Но только направления обхода контуров у этих интегралов различные. Для того чтобы у обоих интегралов было одно направление обхода контура, переменим в первом из них направление интегрирования:

(*)

причем контур обходится против часовой стрелки. Аналогично: .

Здесь для сохранения правила обхода против часовой стрелки надо изменить порядок интегрирования во втором интеграле справа:

. (**)

Контур обходится против часовой стрелки.

Вычитая (*) из (**), получим формулу Грина: .

Замечание: каждая из формул (*) и (**) дает соответствующую формулу интегрирования по частям. Имеем с учетом (**) .

Аналогично выводится .

Вычисление площадей фигур с помощью криволинейного интеграла

Криволинейные интегралы при определенных обстоятельствах удобно использовать для вычисления площадей плоских фигур. Если положить в формуле (*) , то учитывая, что , получаем

. Так как , то имеем . (3)

Подобным образом, если положить в формуле (**) , то придем к формуле

(4)

Складывая почленно равенства (3) и (4) и деля обе части полученного равенства на 2, приходим к формуле

(5)

Можно преобразовать формулу (5) к криволинейному интегралу первого типа. Из (5) непосредственно получим . Если перейти к полярным координатам , то получим далее .

Заметив, что есть угол между радиусом – вектором точки и касательной к ней, можно придать формуле такой вид , где угол отсчитывается от в направлении . И если поворот от к происходит по часовой стрелке, то угол меньше нуля.