Существование и вычисление криволинейного интеграла второго типа
Теорема.
Пусть кривая
задана параметрическими уравнениями:
,
причем функции
,
а также их производные предполагаются
непрерывным и при изменении параметра
от
до
кривая
описывается именно в направлении от
до
.
Функцию
вдоль кривой
также будем предполагать непрерывной.
При
этих предположениях криволинейные
интегралы
и
существуют и имеют
место равенства
, (1)
. (2)
Доказательство.
Пусть точки
,
взятые на кривой, определяются значениями
,
параметра
,
а выбранная на дуге
точка
- значением
,
т.е.
.
Для
проекции
дуги
на ось
будет справедлива формула
.
Тогда интегральная сумма
может быть
переписана в виде:
.
С
другой стороны, интеграл в (1) справа
можно представить в виде суммы
.
Отсюда .
Так как непрерывная
на замкнутом сегменте
функция
будет равномерно непрерывна на этом
сегменте, то для любого числа
можно выбрать такое число
,
что для любых двух точек
из
при
будет
.
Возьмем
разбиение дуги
настолько мелким, чтобы
.
Тогда при всех
,
будет выполняться неравенство
.
Так
как непрерывная функция
ограничена:
,
то будем иметь
.
Так как
- произвольное, сколь угодно малое число,
то
можно сделать сколь угодно малой при
стремлении
к нулю. А это означает, что
.
Этим одновременно доказано как существование криволинейного интеграла, так и требуемое равенство. Формула (2) доказывается совершенно аналогично.
Следствие
1. Если
и
являются непрерывными функциями, то
справедлива формула
.
Следствие
2. Пусть
кривая
задана явным уравнением
,
причем перемещение точки из
в
происходит при изменении
от
до
.
Тогда без каких-либо предположений о
кривой, кроме ее непрерывности, имеем
.
Аналогично, если
кривая
задана явным уравнением
,
где
изменяется от
до
,
то
.
Следствие 3. Если интеграл берется по прямолинейному отрезку, параллельному оси , то он равен нулю (ибо в этом случае равны 0 все , а с ними и все суммы ).
Аналогично, равен нулю интеграл , взятый по прямолинейному отрезку, параллельному оси .
Случай замкнутого контура. Ориентация плоскости
Обратимся
к рассмотрению замкнутого контура
(рис.1),
т.е. к случаю, когда начало и конец пути
интегрирования совпадают. Взяв отличную
от
точку
полагают по определению, с учетом
выбранного на кривой направления
в предположении, что интегралы справа
существуют. Покажем, что при таком
определении величина интеграла не
зависит от выбора точек
и
.
Из определения интеграла по замкнутому контуру следует, что для него так же справедливы формулы (1) и (2), доказанные в теореме существования.
Особенность рассматриваемого случая заключается в том, что указание начальной и (совпадающей с ней) конечной точки на этот раз не определяет направления, в котором описывается кривая .
|
|
|
Рис.1. |
.Можно в каждом случае указывать особо, какое направление имеется в виду. Так и приходится делать, если речь идет о пространственной кривой. В случае же плоского замкнутого контура обыкновенно поступают иначе.
Из двух возможных для данной плоскости направлений вращения – «против часовой стрелки» и «по часовой стрелке» - одно выбирается за положительное: этим создается определенная ориентация плоскости. Если положительным считается вращение против часовой стрелки, то ориентация плоскости называется правой, в другом случае – левой.
В случае правой ориентации плоскости мы именно вращение против часовой стрелки положим в основе определения положительного направления на замкнутом контуре. Правда, это определение имеет достаточно ясный характер для контуров, близких к окружности. Поэтому мы условимся более точно так: положительным направлением обхода замкнутого контура называется то, при котором ближайшая к наблюдателю часть области, ограниченной контуром, оказывается лежащей слева от наблюдателя.
Заметим, что само расположение координатных осей на плоскости всегда ставится в связь с ее ориентацией: ось получается из оси поворотом ее на 90 градусов против часовой стрелки при правой ориентации плоскости. А сама координатная система называется правой.
После этих пояснений заключим раз и навсегда такое соглашение: если путь интегрирования есть замкнутая кривая, под символом
(или
)
при отсутствии указаний на направление обхода контура разумеется интеграл, взятый в положительном направлении.
Конечно,
это соглашение не мешает нам рассматривать
в случае надобности и интеграл, взятый
в отрицательном направлении, но обозначать
его мы будем через:
.