Сведение криволинейного интеграла первого типа к обыкновенному определенному интегралу

Предположим, что на кривой произвольно установлено направление (одно из двух возможных) так, что положение точки на кривой может быть определено длиной дуги , отсчитываемой от начальной точки . Тем самым координаты и точки также определяются как функции от , так что будем иметь параметрические уравнения кривой .

Точке соответствует значение , а точке - значение , где - длина дуги . Таким образом, параметр будет изменятся на сегменте . При этом функция , заданная в точках дуги , становится сложной функцией от переменной . Если через обозначить значения параметра , соответствующие точкам деления кривой , то . Через обозначим значения параметра , отвечающие точкам , произвольно выбранным на дугах . Тогда для интегральной суммы будет справедливо равенство .

И мы видим, что интегральная сумма для криволинейного интеграла является в то же время интегральной суммой для обыкновенного определенного интеграла, так что сразу имеем , причем существование одного из интервалов влечет за собой существование другого.

Так, например, если функция непрерывна вдоль линии , а функции и непрерывны на сегменте , то определенный интеграл существует, а значит, существует и криволинейный интеграл .

Пусть теперь кривая (на которой выбрано направление интегрирования от к ) задана параметрическими уравнениями , где параметр необязательно есть длина дуги, и функции и непрерывны вместе со своими производными и на . Для определенности будем считать, что точке соответствует значение , а точке - значение , причем, при изменении от до точка пробегает кривую в выбранном нами направлении. Тогда длина дуги , где - переменная точка дуги , будет монотонно возрастающей функцией :

.

Производя замену переменных в определенном интеграле, получим

.

Итак, в случае задания кривой параметрическими уравнениями справедлива формула .

Если кривая задана явным уравнением и производная непрерывна, то, принимая за параметр, получаем следующую формулу: .

Этому соотношению можно придать и другую форму. Для функции справедливо равенство , где - угол между касательной и осью . Следовательно,

.

В частности, так как , то .

Замечание 1. Понятие криволинейного интеграла первого типа аналогичным образом определяется для пространственных кривых и функций трех аргументов

.

Замечание 2. Все сказанное об криволинейных интегралах первого типа справедливо и в случае замкнутой кривой. В процессе определения интеграла по замкнутой кривой за начальную точку, которая будет совпадать с конечной, можно выбрать любую точку на кривой, а остальные точки деления располагать в соответствии с тем или иным направлением на кривой.

Можно интеграл на замкнутой кривой определить как сумму двух (или более) интегралов по незамкнутым кривым. Часто интегралы по замкнутым кривым обозначают символом .

Глава 2. Криволинейные интегралы второго типа Определение криволинейного интеграла второго типа

Пусть дана непрерывная незамкнутая кривая и пусть вдоль нее задана функция . Разобьем кривую точками на частичных дуг . Для единообразия записи положим снова . Обозначив далее через и координаты точек и взяв на каждой частичной дуге произвольную точку , вычислим во взятых точках значения функции . Но эти значения мы умножим на этот раз не на длина дуги , а на величину проекции этой дуги на ось , т.е. на .

Составим сумму . Она называется интегральной суммой для функции вдоль дуги по координате . Значения интегральной суммы зависят от способа разбиения дуги на части и от выбора точек на каждой из частичных дуг.

Определение. Если при бесконечном уплотнении разбиения дуги (AB) эта сумма имеет конечный предел I, не зависящий ни от способа дробления кривой, ни от выбора точек , то этот предел I называется криволинейным интегралом второго типа вдоль кривой по координате и обозначается символом .

Аналогично, умножая значение не на , а на , т.е. на проекцию дуги на ось и составляя сумму , получим криволинейный интеграл второго типа вдоль кривой по координате : .

В случае, когда вдоль дуги определены две функции и и существуют интегралы и , сумму этих интегралов называют полным криволинейным интегралом или криволинейным интегралом общего вида вдоль дуги и обозначают

, так что

.

Сопоставим теперь определение криволинейного интеграла второго типа с определением криволинейного интеграла первого типа. Эти определения имеют существенное различие. В случае интеграла первого типа при сопоставлении интегральной суммы значение функции умножается на длину дуги кривой, а в случае интеграла второго типа это значение умножается на проекцию (или ) частичной дуги на ось (или на ось ).

Мы видели, что направление пути , вдоль которого производится интегрирование, не играет роли в случае интеграла первого типа, ибо длина дуги от этого направления не зависит. Иначе обстоит дело с интегралом второго типа: проекция дуги на ту или другую из осей существенно зависит от направления дуги и меняет знак с изменением этого направления на обратное. Таким образом, для интегралов второго типа будет , , причем из существования интегралов справа уже вытекает существование интегралов слева и обратно.

Подобным же образом можно ввести понятие криволинейного интеграла второго типа, распространенного на пространственную кривую . Именно, если функция задана в точках этой кривой, то строим сумму и рассматриваем ее предел при бесконечном уплотнении разбиения дуги (AB). Этот предел называется криволинейным интегралом второго типа от вдоль кривой по координате и обозначается .

Аналогично определяются интегралы

,

.

Наконец, рассматриваются и интегралы общего вида

.

Здесь также изменение направления интегрирования меняет знак интеграла.

Отметим, что основные свойства криволинейных интегралов первого и второго типов такие же, как у определенного интеграла.

Например, свойство линейности

и свойство аддитивности: если , то

.

Эти свойства криволинейного интеграла доказываются непосредственно исходя из соответствующих интегральных сумм.