Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. Алексеева

Кафедра «Прикладная математика»

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ТЕОРИЯ

Нижний Новгород 2011

Составители: с.Н. Алексеенко, а.В. Романов

УДК 517

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРИЯ, ПРАКТИКА, ЗАДАНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТНЫХ РАБОТ./НГТУ; cост.: С.Н. Алексеенко, А.В.Романов - Н. Новгород, 2011 – 45 с.

Научный редактор

Редактор С.Н. Митяков

Компьютерный набор: Т.О. Парфенова

Учебное пособие содержит подробное изложение лекционного материала по теории криволинейных интегралов.

Подписано в печать . Формат 60х84 1/16. Бумага газетная.

Печать офсетная. Усл. п. л. . Уч.-изд. л. . Тираж 300 экз. Заказ .

Нижегородский государственный технический университет.

Типография НГТУ.603950, Нижний Новгород, ул.Минина, 24. © Нижегородский государственный

технический университет

им. Р.Е. Алексеева, 2011

Глава 1. Криволинейные интегралы первого типа Масса материальной кривой

Пусть на плоскости дана непрерывная незамкнутая материальная кривая , причем известна линейная плоскость во всех точках кривой. Требуется определить массу m всей кривой .

Определение. Линейной плотностью называется предел, к которому стремится отношение массы Δm, дуги этой кривой, содержащей точку , т.е. , к длине дуги , при условии, что длина дуги стремится к нулю.

Для решения поставленной задачи разобьем произвольным образом на частей с помощью точек деления , которые пронумерованы в направлении от к . Хотя можно было нумеровать их в обратном направлении.

Длину дуги обозначим через . На каждой частичной дуге возьмем произвольно по точке и во взятых точках вычислим значение линейной плотности: . Если предложить, что плотность во всех точках частичной дуги постоянна и равна ее значению в точке , то величина массы частичной дуги будет: .

Масса всей кривой при сделанном допущении о постоянстве плотности вдоль частичных дуг выразится суммой: .

Поскольку в действительности плотность распределения массы на каждой частичной дуге , вообще говоря, непостоянна, то сумма не может быть принята за массу . Однако, если частичные дуги малы, то, в силу непрерывности функции , значение плотности в точках частичной дуги будет мало отличаться от и масса будет близка к искомой массе , причем тем лучше, чем меньше длина частичных дуг.

Определение. Будем называть бесконечным уплотнением разбиения дуги последовательность разбиений дуги на частичные дуги (k = 1,…,n), когда каждая из частичных дуг бесконечно уменьшается по длине, а их число n неограниченно увеличивается. Обозначать это будем так: (AB)0.

Если при бесконечном уплотнении разбиения дуги (AB) сумма будет стремиться к определенному пределу , не зависящему ни от способа разбиения дуги на частичные дуги , ни от выбора точек на соответствующих частичных дугах, то этот предел мы и будем принимать за массу всей дуги : .

Определение криволинейного интеграла первого типа

Рассмотрим произвольную функцию , определенную вдоль некоторой плоской кривой . Разобьем произвольным образом на частей точками , считая . Длину дуги обозначим через . На каждой частичной дуге возьмем по произволу точку и, вычислив значение , составим сумму .

Она называется интегральной суммой для функции , заданной на кривой . Интегральная сумма зависит от способа разбиения кривой и выбора точек на частичных дугах.

Определение. Если при бесконечном уплотнении разбиения дуги (AB) интегральная сумма имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения дуги на частичные дуги , ни от выбора точек на этих частичных дугах, то этот предел называется криволинейным интегралом первого типа от функции по кривой и обозначается

.

Пользуясь введенным определением, мы можем теперь выражение для массы кривой записать в виде: , где - линейная плотность кривой.

Отметим особо, что величина криволинейного интеграла первого типа не зависит от направления интегрирования. Де5йствительно, если при составлении интегральной суммы мы будем производить нумерацию точек деления кривой в направлении от к (т.е. в обратном рассмотренному выше направлению), то это не изменит интегральной суммы, так как величины - длины дуг обязательно положительные независимо от того, какую точку дуги мы считаем начальной, а какую – конечной. Следовательно, не изменится и предел интегральной суммы, т.е. .