Тема 11. Анализ тенденций развития

Важной задачей статистики при анализе ряда динамики является определение основной тенденции развития, присущей тому или иному явлению в связи с чем необходимо освоить способы обработки рядов динамики: укрупнение периодов, сглаживание ряда при помощи скользящей средней, аналитическое выравнивание.

Самым простым способом является способ укрупнения периодов (интервалов). Он состоит в расчёте суммарных или средних показателей для увеличенных интервалов. Вместо дневных (годовых) определяют месячные, квартальные, пятилетние и др., однако, надо помнить, что в моментных рядах динамики и в рядах средних величин увеличение интервалов осуществляется только на основе расчёта средних уровней по формуле средней арифметической.

Сглаживание методом скользящей средней заключается в том, что в начале рассчитывается средний уровень с определённого числа первых чисел уровня ряда, затем из того же числа уровней, но начиная со второго, далее – с третьего и т. д. Как правило, определяют среднюю из 3, 5 и более уровней (нечётных).

При аналитическом выравнивании ряда динамики закономерно изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция времени:

y_t = f (t) (11.1)

где y(t) – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Выбор формы кривой во многом определяет результаты экстраполяции тренда. Основание для выбора вида, кривой может использоваться содержательный анализ сущности развития данного явления. На практике для этих целей прибегают к анализу графического изображения уровней динамического ряда.

Рассмотрим на примере, аналитическое сглаживание ряда динамики объёма экспорта продукции по прямой и параболе.

Пример 11.1. Схема аналитического сглаживания ряда динамики.

Годы	Объём экспорта, импорта, грн (y)	Условные обозначения времени
		t	t2	t4	ty	t2y
Т1	24	-9	81	6 561	- 216	1 944
Т2	72	-7	49	2 401	- 504	3 528
Т3	92	-5	25	625	- 460	2 300
Т4	102	-3	9	81	- 306	918
Т5	114	-1	1	1	1 114	114
Т6	118	1	1	1	118	118
Т7	121	3	9	81	363	1 089
Т8	125	5	25	625	625	3 125
Т9	123	7	49	2 401	861	6 027
Т10	110	9	81	6 561	990	8 910
Итого	1001	0	330	19 338	1 357	28 073

Для вывода уравнения прямой

y = a_{0 +} a₁t (11.2)

воспользуемся системой нормальных уравнений:

(11.3)

где y – фактические уровни ряда динамики.

n – число членов ряда динамики.

Для удобства расчётов отсчёт времени целесообразно вести с середины ряда таким образом, чтобы сумма времён равнялась нулю, т.е. . Если число уровней нечётное, серединное число обозначается 0, предыдущие периоды – отрицательными числами, последующие – положительными.

Если число уравнений динамического ряда чётное, то два серединных момента времени обозначаются – 1 и +1, а другие через два интервала.

При условии Σt = 0 система уравнений для нахождения a₀ и a, примет вид:

(11.4)

(11.5)

(11.6)

Уравнение тренда по прямой будет иметь вид:

(11.7)

Для вывода уравнения параболы второго порядка:

(11.8)

Необходимо решить систему уравнений:

(11.9)

При условии Σt = 0, Σt³ = 0 система уравнений примет вид:

(11.10)

(11.11)

(как и для прямой)

(11.12)

Подставив данные из таблицы 11.1 получим:

a₀ = 119,471 a₁ = 4,112 a₂ = -0,587

Уравнение параболы будет иметь вид:

(11.13)

Из двух полученных уравнений трендов (11.7 и 11.13) необходимо выбрать наиболее адекватную математическую модель. Для этого рассчитывают ошибку аппроксимации:

(11.14)

где y_ti, y_i – соответственно теоретические и эмпирические уровни ряда.

Расчёт ошибки аппроксимации приведён в таблицу 11.2.

Таблица 11.2

Матрица расчёта ошибки аппроксимации

Годы	ti	yi	Теоретические уровни (yti)		Отклонение теоретических уровней от фактических (yti-yi)2
			прямая	парабола	прямая	парабола
Т1	-9	24	63,092	34,916	1528,194	119,159
Т2	-7	72	71,316	61,924	0,468	101,525
Т3	-5	92	79,54	84,236	155,252	60,279
Т4	-3	102	87,76	101,852	202,777	0,022
Т5	-1	114	95,988	114,772	324,432	0,596
Т6	1	118	104,212	122,996	190,108	24,96
Т7	3	121	112,436	126,524	73,342	30,514
Т8	5	125	120,660	125,356	18,836	0.127
Т9	7	123	128,884	119,492	34,621	12,306
Т10	9	110	137,108	108,932	734,843	1,140
Итого		1001	1001	1000,7	3262,873	350,630

Для прямой:

Для параболы второго порядка:

Ошибка аппроксимации ниже y параболы, следовательно, она и будет являться трендом, т.к. предпочтение отдаётся математической модели с минимальной ошибкой.

Вопросы и тесты для самоконтроля

11.1. Какие способы выявления основной тенденции развития явления, Вы знаете?

11.2. В чём заключается сглаживание рядов динамики?

11.3. Как выявляется основная тенденция развития явления - тренд?

11.4. Методы прогнозирования динамики?

11.5. В чём заключается анализ рядов динамики?

11.6. Аналитическое выравнивание позволяет:

а) выявить тенденцию развития;

б) получить качественные характеристики изменения уровней ряда.

Ответы: 1) а; 2) б; 3) а, б; 4) –.

11.7. Тенденция представляет собой изменение ряда динамики:

а) равномерно повторяющееся через определённые промежутки времени внутри года;

б) определяющее какое-то общее направление развития. Сезонные колебания представляют собой изменение ряда динамики равномерно повторяющиеся;

в) через определённые промежутки времени с годичным интервалом;

г) внутри года.

Ответы: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

Задачи для решения

Задача 11.1.

На основе данных задачи 10.10. построить график и произвести аналитическое сглаживание ряда, рассчитав 2 – 3 уравнения тренда и сделать вывод об адекватности модели по ошибке аппроксимации.

Задача 11.2.

На основе данных таблицы 4.3. установить основную тенденцию развития основных показателей работы предприятия, методом укрепления периодов, скользящей средней и аналитическим.

Сделать выводы.

Таблица 11.3

Динамика основных показателей работы предприятия

Период	Объём реали-зации, тыс. грн.	Прибыль, тыс. грн.	Численность работников, чел.	Себестои-мость продукции, грн/шт.	Объём произв-во тыс. шт.
Январь	253	5,8	460	326	0,9
Февраль	268	3,9	470	327	1,1
Март	264	4,2	485	324	1,3
Апрель	275	5,7	480	320	1,5
Май	290	8,4	490	318	1,4
Июнь	284	9,6	508	316	1,8
Июль	295	10,0	510	317	2,0
Август	308	10,2	526	300	2,2
Сентябрь	316	11,8	538	295	2,8
Октябрь	312	12,5	530	280	2,4
Ноябрь	335	12,9	535	278	3,0
декабрь	365	13,3	540	270	3,4