Лекція 4

• Математичні основи лінійного програмування. Жорданові перетворення

• Знаходження оберненої матриці

• Розв’язування СЛАР методом жорданових перетворень

2. Математичні основи лінійного програмування. Жорданові перетворення

Розглянемо таку задачу: змінні виражаються через таким чином

(2.4)

Необхідно знайти вирази для через .

Для цього з 1-го рівняння системи (2.4) виразимо через і підставимо цей вираз у 2-ге і 3-тє рівняння.

або

Якщо тепер в 2-му рівнянні виразити через

і підставити цей вираз в 1-е та 3-є рівняння, отримаємо:

або

І, нарешті, виразивши через

,

підставивши цей вираз у 1-е та 2-е рівняння, отримаємо:

(2.5)

Розв’язуючи цю задачу, можна користуватись простим алгоритмом, що спрощує і прискорює обрахунки. Цей алгоритм називають методом жорданових перетворень таблиць.

Із системою лінійних рівнянь

зіставляємо таблицю,

Утворену коефіцієнтами при змінних , тобто матрицю , стовпець і стрічка, що окреслюють матрицю зліва і зверху, утворені символами .У цій таблиці –му рядку відповідає –е рівняння системи.

1. Алгоритм жорданових перетворень

1. Виберемо будь-який ненульовий елемент і назвемо його розв’язуючим. Називаємо також рядок таблиці розв’язуючим, а стовпець – розв’язуючим стовпцем.

2. Розв’язуючий елемент замінюємо оберненим .

3. Всі елементи розв’язуючого рядка ділимо на розв’язуючий елемент і міняємо знак (крім розв’язуючого елемента).

4. Всі елементи розв’язуючого стовпчика ділимо на розв’язуючий елемент.

5. Решта елементів таблиці переховуємо за «правилом визначника», тобто елемент таблиці замінимо на .

І снує чотири випадки розміщення розв’язуючого елемента відносно елемента таблиці, який перераховується:

6. Міняємо місцями символи та .

Легко переконатись в тому, що за допомогою жорданових перетворень з розв’язуючими елементами можна отримати нову таблицю, якій відповідає система m- лінійних рівнянь, де змінні виражаються через n змінних .

Запишемо вихідну систему у вигляді:

1
	4	3	2
	3	2	1
	1	1	2

Вибравши розв’язуючий елемент і виконавши один крок жорданових перетворень, отримаємо таблицю:

2

Виконаємо наступні кроки жорданових перетворень.

3
	-2	3	1
	3	-4	-2
	1	-1	1

4
	-3	4	1
	5	-6	-2
	-1	1	1

Записавши згідно останньої таблиці систему, отримаємо: