6 .Комплексные числа и алгебраические операции с ними. Тригонометрическая форма комплексного числа. Возведение в степень и извлечение корня.

Комплексным числом называется выражение a+b_i, где a и b- действительные числа, а символ i удовлетворяет условию i²=-1. В поле комплексных чисел нейтральным элементом для сложенмя явл 0: a+0·i=a, 0+b·i=b·i,

0+0·i=0; для умножения 1. Для числа (a+b_i,)≠0 обратным явл 1/a+b_i,

Комплексные числа a+b_i и c+d_i равны, если: a=c и b=d. В поле комплексных чисил нет понятия порядка, поэтому числа вида z₁=a+b_i, z₂=c=d_i несравнимы.

Теорема. В поле комплексных чисел уравнение n-ой степени имеет n корней.

Алгебраические операции с комплексными числами вида z₁=a+b_i, z₂=c=d_i

1.Сложение: z₁+z₂=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

2.Вычитание: z₁-z₂=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

3.Умножение: Z₁·z₂=(a+bi) ·(c+di)=ac+bci+adi+bdi²=(ac-bd)+(bc+ad)i

4.Деление(z₂≠ 0) z₁ ⁄z₂=a+bi ⁄c+di= (a+bi)(c+di) ⁄(c+di)(c+di)=ac+bci-adi-bdi² ⁄c²-d²i²=(ac+bd)+(bc-ad)i ⁄c²+d²

Г еометрическая интерпрет. комплексн числа: компл число изобр вектором, идущим из точки (0,0) в точку (a,b). |Z| - длина вектора. ‌z‌=√a²+b². Угол γ м-ду вектором и положительным направлением оx - аргумент числа z. sin γ=b/√a²+b²; cos γ=a/√a²+b².

z=|r|(cos γ +isin γ )- тригонометрическая форма комплексного числа.

Теорема1:При перемножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. z₁·z₂=r₁·r₂(cos(γ₁+ γ₂)+I sin(γ₁+ γ₂)). Длина нового вектора=сумме длин исходных, угол наклона к ох-поворот на суммарное число градусов, отсчитываемое от положительного направления ох.

Формула Муавра:Zⁿ=rⁿ(cos nγ+isin nγ) – ф-ла для n-ой степени комплексного числа.

Формула для извлечения корня из комплексного числа: W_k=ⁿ√z=ⁿ√r(cos( γ+2πk/n)+isin( γ+2πk/n))

Формула Эйлера: e^ix=cosx+isinx

7. Бесконечно малые последовательности. Теорема о произведении бесконечно малой на oграниченная последовательность и о сумме 2 бесконечно малых. Бесконечно большие последовательности; их связь с бесконечно малыми.

Последов. а_n называется ограниченной, если существует такое положительное число М , что для всех членов последовательности выполняется нер-во | а_n | ≤ М.

Последовательность а₁ а₂ ….а_n называется бесконечно малой, если для любого положительного числа Е существует такой номер N, после которого все члены последовательности по абсолютной величине <Е. ( Для всякого Е>0 сущ N ,что для люб n [ n>N→|a|<Е] ) .

Пример: a_n=(-1)ⁿ/n² -1; ¼; -1/9; 1/16… |a_n|=1, ¼, 1/9, 1/16, 1/25... Е=1/100, N-? N=10 =>n>10, то |a_n |< 1/100

Теорема1. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную, явл бесконечно малой последовательностью

Дано α_n - ограниченная послед. А_n – бесконечно малое. Доказать |A_n*а_n | <E, те бесконечно малое.

Доказ-во: 1) Т.к. а_n ограничена, то сущест такое М , что |a_n |≤М для все n по определению. Пусть Е>0 – любое положительное число, тогда Е/М>0. Т.к. А_n - бесконечно малая , то существует номер N, после которого |A_n |≤ E/М

Если n>М, то |A_n| < E/М, тогда |A_n*а_n| = |A_n|*|a_n|<M*E/M=E . Итак, если n>М, то |A_n| < E, чтд

Пример |A_n|=sin n / n² = sin n *1/n => sin n /n² - бесконечно малая, тк sin -ограниченная (-1<sin n <1), 1/n – бесконечно малая.

Теорема2. Сумма двух бесконечно малых явл бесконечно малой

Дано А_n - бесконечно малая β_n - бесконечно малая Док-ть (А_n + β_n) - бесконечно малая

Док-во Е>0-любое число, тогда Е/2>0. Т.к. А_n - бесконечно малая ,то сущ номер N, после кот |А_n|<Е/2. Т.к. β_n – беск малая ,то сущ номер N2, после кот |β_n|<Е/2. Если n>N1 то |А_n|<Е/2. Если n>N2 то |β_n|<Е/2. Из N1и N2 выберем наибольшее и обозначим его N. Если n>N, то n>N1 и n>N2. Пусть n>N ,тогда |A_n|<E/2 и |β_n|<E/2. Значит |A_n + β_n |≤ |A_n| + |β_n|<E/2+E/2 => |A_n + β_n |< Е чтд.

Последовательность а₁, а₂, а₃….а_n называют беск большой, если для всякого положительного числа Е существует такой номер N, после которого все члены последовательности по абсолютной величине >Е

( Для люб Е>0 сущ N, что для люб n (n>N→ |A_n|>E)

Пример a_n = 1, 4, 9, 25… E=10 N-? N=3; E=200 , N=14