26. Парадоксы теории множеств и проблемы оснований математики. Континуум – гипотеза.

Теория множеств Кантора была признана только в нач ХХ в. Одновременно открыты первые парадоксы теории множеств.

Множества состоят из элементов, тоже являющихся множествами. Пример: мн-во групп курса---мн-во групп факультета---мн-во студентов учебной группы.

Множество, не содержащие себя в качестве элемента, - обыкновенное (мн-во нат чисел; книг в библ)

Множества, содержащие себя в качестве элемента, - необыкновенные ( множество всех множеств; абстрактных понятий)

Парадокс 1.

S- множество все обыкновенных множеств. S – обыкновенное или необыкновенное?

1. Пусть S – обыкновенное. По условию S содержит все обыкновенные мн-ва, значит, S содержит себя в кач-ве элемента---S – необыкновенное мн-во ( по опр нобыкн мн-ва)

2. Пусть S – необыкновенное мн-во. По определению необыкнов мн-ва S содерж себя в кач-ве элемента. По усл S содерж обыкнов мн-ва, значит не содер себя в кач-ве элемента--- Противоречие---S – обыкнов мн-во.

На этом св-ве мн-в базируются такие парадоксы, как «парадокс лжеца», «парикмахера», известные как антиномии ( парадоксы) Рассела.

Парадокс 2 Антиномия Кантора.

U – мн-во все мн-в, U* - мн-во подмножеств U. По теореме : мощность множества всех подмножеств любого непустого мн-ва М больше, чем мощность самого М, мощность U*>U, что парадоксально, тк U* содержится в U.

Наличие парадоксов вынудило пересмотреть основания математики.

Задача – построить непротиворечивое основание математики.

Аксиоматический подход в математике. Суть: строго формулировать предмет и границы рассуждения, все парадоксальное и необоснованное исключается из универсума рассуждения.

Первый аксиоматический метод в теории множеств – Цермелло, 1904г. 1920г – статья Френкеля об аксиоматическом методе Цермелло. ---- Система Цермелло-Френкеля (ZF).

Континуум-гипотеза. Кантором была сформулирована, а Гильбертом в 1900г на Международном конгрессе по математике озвучена проблема о мощности континуума.

Континуум-проблема: существует ли мн-во промежуточной мощности м-ду счетным множеством натуральных чисел ( א - «алеф-нуль») и множеством действительных чисел мощности континуума (с)?

Континуум-гипотеза. Такого мн-ва не существует.

Решение: или доказать, что континуум-гипотеза выводима из системы аксиом ZF или опровергнуть континуум-гипотезу, прибавляя ее к системе аксиом ZF и получая противоречие.

1940г – Гедель. Система ZF + континуум гипотеза = непротиворечивая система аксиом.

1963г – Коэн. Система ZF + отрицание континуум-гипотезы= непротиворечивая система аксиом.

Следовательно, ни континуум-гипотеза., ни ее отрицание не выводимы из системы ZF.

Т.о различные теории множеств можно построить 2 путями:

1. Теории, в которых нет множества промежуточной мощности м-ду счетным множеством натуральных чисел и множеством действительных чисел мощности континуума.

2. Теории, в которых есть м-во промежуточной мощности.

Аксиоматический подход в геометрии.

Проблема количества || прямых, кот можно провести через точку. Решения:

	3в. Евклид. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только 1 прямую || данной
	1829г. Лобачевский. Через точку сферического пр-ва можно провести бесконечно много прямых || данной. ctg W/2 = e*x/ρ, где ρ – радиус кривизны пространтства Лобачевского. Одновременно с Лобачевским к аналогичным выводам пришли Гаус и Больяни
	1971г. Клейн. Доказал, что внутри круга без внешних границ можно провести бесконечно большое число хорд, не пересекающихся с АВ. Хорда=прямая.