18. Неопределенный интеграл и его свойства. Составление таблицы.

Неопределенный интеграл от функции f(x) – семейство ее первообразных. ∫ f(x)dх = F(x) +c, где f(x) – подинтегральная функция. Пример ∫ sinx dx = - cos x +c

Операция нахождения для данной функции первообразной – интегрирование. Дифференцирование – операция нахождения производной – обратна операции интегрирования.

Теорема 1. Производная от неопределенного интеграла = подынтегральной функции. [∫ f(x)dх]' = f(x).

Для доказательства данной теоремы найдем производную от левой части

[∫ f(x)dх]'=[F(x) +c]=F'(x) +C' = f(x), чтд

Следствие: дифференциал от неопределенного интеграла =подынтегральному выражению.

d [∫ f(x)dх] = [∫ f(x)dх]'dx=f(x)dx.

Правило:чобы убедиться в справедливости равенства ∫ f(x)dх = Н(х)+с, где Н(х) – некоторая функция, следует найти производную от ее правой части. Если при этом получится подынтегральная функция f(x) интеграла, стоящего слева, то равенство верно. Н'(х)=f(x)+c--- Н(х)- первообразная для f(x)----H(x)+c – cемейство первообразных функции f(x) – интеграл. Н(х)+с = ∫ f(x)dх

Теорема 2. постоянный множитель выносится за знак интеграла. ∫к f(x)dх= к ∫ f(x)dх

Док-во [∫к f(x)dх]' = к [∫ f(x)dх]'=kf(x), чтд. Пример ∫10 sin x dx= -10 cos x +c

Теорема 3. Интеграл от суммы =сумме интегралов. ∫[ f 1(x) + f 2 (x)] = ∫f 1(x)dх + ∫ f 2 (x)dх.

Док-во: Найдем производную от правой части. [∫f 1(x)dх +∫ f 2(x)dх]'=[∫f 1(x)dх] +[∫ f 2(x)dх] = f 1(x) + f 2 (x).

Т.к в результатете диффиренцирования получена подынтегральная функция, теорема доказана.

Пример: ∫ ( 2x+5 sin x) dx= x² -5 cos x +c

Физический смысл неопределенного интеграла: s(t) – первообразная функции V(t), если требуется найти путь тела, зная его скорость

Таблица интегралов составляется на основе таблицы производных. Чтобы найти ∫f (x)dх, следует первообразную для f(x), прибавить к ней const c, получив тем самым семейство первообразных.

∫ х к dх = х к+1/ к+1 + c, k ≠-1.	∫ dх/sin 2 x = - ctg x +c .
∫ dх/х = ln |x|+ c.	∫ e xdх = e x + c.
∫ sin x dх = - cos x + c .	∫ ax dх = ax/ ln a + c .
∫ cos x dх = sin x + c .	∫ dх / √ 1-x2 = arcsin x + c .
∫ dх/ cos 2 x = tg x +c .	∫ dх / x2 +1 = arctg x +c .

Докажем ∫ х ^к dх = х ^к+1/ к+1 + c, k ≠-1. Для этого найдем производную правой части [ х ^к+1/ к+1 + c{'=

1/k+1[ х ^к+1] + c' = 1/k+1[ х ^к+1] = 1/k+1 * k+1* х ^к = х ^к , чтд.

19. Методы вычисления неопределённого интеграла. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.

Метод подстановки Дано: ∫ f(x)dx=F(x)+c. Док-ть: ∫ f(u)du=F(u)+c , где u(х) – любая дифференц. функция

Доказательство: 1) По условию ∫ f(x)dx=F(x)+c => [F(x)+c]'=f(x) . [F(x)]'=f(x) – (2)

2. Докажем равенство ∫ f(u)du=F(u)+c. Зная, что du=u'(x)dx (1), получаем ∫ f(u)u'(x)dx=F(u)+c

Найдём производную от правой части, чтобы доказать это равенство.

[F(u)]_х'= F'_x(u) + c'= F'_u(u) u_x'= f(u)*u' -Последний переход - по (2). Получаем фун-цию стоящую под знаком левого интеграла , значит равенство справедливо

∫uⁿdu =(uⁿ⁺¹/(n+1))+c, n≠1 ∫(1/u) du=ln│u│+c ∫(sin u) du=-cosu+c ∫(cos u) du=sinu+c ∫e^u + c=e^e +c

Пример ∫(cos 5х) dх=∫(cos u*(du/5))=1/5∫(cos u) du= 1/5sinu+c=1/5sin5x+c

u=5x, du= u'dx, du= 5dx; dx=du/5. Проверка:m [1/5sin5x+c]'=1/5*5*(cos 5x)=cos5x

Интегрирование по частям Дано: U(x), V(x). du=u'dx, dv=v'dx. Найти ∫u dv. Используя (uv)'=u'v+uv'

1. d(uv)=udv + vdu – дифференцируем 2. ∫d(uv)= ∫u dv+∫v du, uv= ∫u dv+∫v du 3) ∫u dv=uv-∫v du

Пример ∫ lnx dx= x*lnx-∫x*1/x dx=x lnx – x+c= x│ln x – 1│+c ( u=ln x du = 1/u dx dx=dv v=x)

Неберущиеся интегралы – интегралы, которые нельзя выразить через элементарные функции

Теорема существования. Если функция f(x) непрерывна, то ∫ f(х)dх существует.

Но не всегда неопределенный интеграл можно выразить через элементарные функции. До 17в интеграл не выражался через элементарные функции. К 18в класс элементарных функций, через которые можно выразить неопределенный интеграл сложился исторически. Так, было открыто, что ∫ 1/х dx= ln|x| +c.

Примеры интегрируемых, но не выражающихся через элементарные, функций ∫e ^{–x^2} dx; ∫ sinx/x dx.

∫ dx/ln x.