Шпора (Word)

Теорема: Для того, чтобы имела в т. предел, необходимо и достаточно чтобы существовали односторонние пределы: .

Функция называется непрерывной в т. , если .

Замечание: элементарные функции непрерывны в точках, где определены.

Точка , называется точкой разрыва первого рода если: 1) 2) Существуют конечные односторонние пределы, но они не совпадают, т.е. не существует предела.

Точка , называется точкой разрыва второго рода если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

№7. Предел функции в бесконечности. Наклонная асимптота графика функции. Горизонтальная асимптота графика функции.

: Число называется пределом функции в бесконечности, если , , т.ч. для всех : .

Прямая на плоскости, к которой неограниченно приближается график функции, называется асимптотой графика.

Прямая является наклонной асимптотой, если существуют оба предела: , . Пояснение между графиком функции и прямой. По определению асимптоты: , . Рассмотрим , .

Горизонтальная асимптота – это частный случай наклонной асимптоты, если угловой коэффициент .

№11. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.

I. Если (D – область определения) поставлен в соответствие , говорят, задана функция . Если это взаимно однозначно, то можно рассмотреть функцию , которая ставит в соответствие x.

Теорема: Пусть и взаимно обратные функции, тогда или . Доказательство. Пусть обе функции дифференцируемы в некоторой точке. Тогда, , т.к. обе функции дифференцируемы непрерывны, т.е. при . Тогда, .

а) , , тогда ,

б) , , ,

в) , , ,

г) , , .

№12. Производные и дифференциалы высших порядков.

I. Производной 2-го порядка от функции называется производная от ее первой производной: . Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной порядка n-1: .

II. Пусть функция дифференцируема, тогда приращение функции , следовательно - дифференциал I-го порядка.

Рассмотрим 1-й случай, когда x – независимая переменная. Тогда - число. Предполагая, что функция дифференцируема дважды в т. x, найдем дифференциал от дифференциала I-го порядка при : , - полученное выражение при называется дифференциалом II-го порядка. Аналогично: , .

Рассмотрим 2-й случай, когда , а - соответственно сложная функция. Тогда - дифференциал I-го порядка, а - функция, . Тогда: , , , . Дифференциалы 2-го (и более высокого порядка) не обладают инвариантностью формы (т.е. меняют вид в зависимости от x).

№13. Функции, непрерывные на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функция называется непрерывной в точке , если .

Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке интервала .

Будем говорить, Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке интервала и , .

Свойства (для интервалов , и ):

1) Если функция непрерывна в точке , то в некоторой окрестности этой точки знак совпадает со знаком .

2) Если функция непрерывна на интервале и , то существует хотя бы одна точка , т.ч. .

3) Если функция непрерывна на интервале , то она достигает на этом интервале наибольшее и наименьшее значения, т.е. , т.ч. и .

4) Если функция непрерывна на интервале , то она ограничена.

№14. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ролля, Лагранжа, Коши), геометрический смысл.

Теорема Ролля: Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема хотя бы на отрезке и значение функции на концах отрезка совпадает, т.е. , тогда существует хотя бы одна точка , т.ч. .

Доказательство. 1) Пусть наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке совпадают, т.е. и функция постоянна тогда производная . 2) Пусть функция непостоянна, тогда она достигает на интервале наибольшего и наименьшего значения. Причем функция не может достигать и на концах отрезка, т.к. и функция была бы постоянна. Значит, внутри интервала есть точка экстремума , .

Геометрический смысл. Если все условия теоремы выполнены, то на графике функции существует точка , через которую проходит касательная к графику функции, параллельно оси x.

Теорема Лагранжа: Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема хотя бы на отрезке , тогда существует точка , т.ч. .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию непрерывную на отрезке , дифференцируемую хотя бы на отрезке : . Тогда , а , т.е. выполнены все условия теоремы Ролля и существует , т.ч. . Следовательно, , .

Из теоремы Лагранжа следует формула конечных приращений: .

Геометрический смысл. - угла наклона секущей (хорды), стягивающей точки и графика . - угла наклона касательной к графику функции , через точку касания . Если все условия теоремы Лагранжа выполнены, то касательная проходящая через точку , параллельна секущей (хорде), точки и графика .

Теорема Коши: Пусть функция и непрерывны на отрезке , дифференцируемы хотя бы на отрезке , , тогда существует точка , т.ч. .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию непрерывную на отрезке , дифференцируемую хотя бы на отрезке : . Тогда , , т.е. выполнены все условия теоремы Ролля и существует , т.ч. . Следовательно, , .

№15. Правило Лопиталя для вычисления пределов

Теорема: Пусть и б/м () определенные и дифференцируемые в окрестности т. , за исключением может быть самой т. , причем и , существует . Тогда .

Доказательство. Пусть - конечное число. Доопределим функции и , предполагая, что . Тогда эти функции непрерывны в точке . Рассмотрим интервал , где . Тогда и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале . Тогда по теореме Коши , т.ч. , или . Т.к. , то и . Следовательно получим: .

Теорема: Пусть и б/б () определенные и дифференцируемые в окрестности т. , причем и , существует . Тогда .

Т.е. правило Лопиталя годится не только для неопределенностей вида , но и для .

№16-17. Условия возрастания и убывания дифференцируемой функции

Функция на интервале , при , где , называется возрастающей, если и убывающей, если .

Пусть функция дифференцируема на интервале при всех тогда: если , то функция возрастает на , а если , то функция убывает на этом интервале.

Если существует окрестность точки , такая что для всех точек , принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство (или ), то - называется точкой минимума (максимума) этой функции, а - локальным минимумом (максимумом) этой функции.

Точки максимума и минимума функции называются точками локального экстремума.

Теорема (необходимое условие экстремума): Если имеет в точке экстремума производную , то .

Замечание. В точке экстремума:

1) может не существовать производной. Пример: , -минимум, а не существует.

2) . Пример: , -минимум, но

Вывод: если в т. экстремум, то , , не существует.

Теорема (достаточное условие экстремума): Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , может быть за исключением самой точки . Тогда, если при переходе через точку , меняет знак с "+" на "–", то в точке - максимум, а если с "–" на "+" – минимум. Если же не меняет свой знак при переходе через точку , то она не является точкой экстремума.

№18. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Рассмотрим произвольный многочлен степени : .

Где - постоянные числа, коэффициенты многочлена.

Найдем последовательные производные и вычислим :

,

,

Т.е. , (), где мы считаем, что , .

Тогда получим многочлен Тейлора:

Если надо представить многочлен вида: . Где - любое фиксированное число. Проделав аналогичную процедуру получим:

- формула Тейлора для многочлена по степеням .

Любую функцию можно представить в виде многочлена: . Где - многочлен Тейлора, а - остаточный член. Т.е.: , если мало, то .

Остаточный член в форме Лагранжа: , .

Замечание: остаточный член мал, как правило, можно пренебречь по сравнению с предыдущим слагаемым.

Рассмотрим и , следовательно , называется б/м более высокого порядка чем , т.е. - остаточный член в форме Пеано.

Замечание: если взять минимальное число членов формулы Тейлора, то получатся формулы асимптотического разложения.

,

Формула Тейлора даёт более точное разложение: