1.3.8. Представление ротора вектора через проекции этого вектора.

Вычислив предел = rot_nb, можно показать, что компоненты вектора rotb имеют вид:

rot_xb = ; rot_yb = ; rot_zb = , т.е.

rotb = i + j + k. (34)

Ротор вектора b можно записать с использованием векторного оператора Гамильтона набла  (пункт 1.3.3, формула 17). Ротор определяется как векторное произведение символического оператора набла  = + + на вектор b = b_xi + b_yj + b_zk:

rotb = [ b]. (35)

Ротор по своему строению схож с векторным произведением двух векторов. Действительно, векторное произведение, например, векторов A и B имеет вид (пункт 1.2.4, формула 5):

[AB] = (A_y B_z  A_z B_y)i + (A_z B_x  A_x B_z)j + (A_x B_y  A_y B_x)k.

Если теперь в векторном произведении осуществить замену A на , B на b, A_x на , A_y на , A_z на , B_x на b_x, B_y на b_y, B_z на b_z:

A = , B = b, A_x = , A_y = , A_z = , B_x = b_x, B_y = b_y, B_z = b_z,

то (35) принимает вид:

rotb = [ b] = i + j + k, (36)

что соответствует выражению (34).

Ротор можно представить определителем:

rot b = [ b] = (36*)

(векторное произведение двух векторов представлено определителем 6*, см. пункт 1.2.4).

Если для некоторого вектора b ротор не равен нулю (rot b  0) то такой вектор b называется вихревым вектором (иногда используется термин – соленоидальный вектор). Примером вихревого вектора является вектор магнитной индукции B. Если магнитное поле создано электрическим током j, то rot B = ₀j; если, кроме токов j, в пространстве имеется изменяющееся во времени электрическое поле Е, то rot B = ₀j + ₀₀ - это одно из уравнений Максвелла. Обычно это уравнение записывается в виде:

с² rot B = + , где с² = - квадрат скорости света в вакууме.

Примером невихревого вектора является вектор напряженности Е электростатического поля. Для этого вектора ротор равен нулю: rot Е = 0. Если электрическое поле порождено изменяющимся во времени магнитным полем, то напряженность такого электрического поля является вихревым вектором. В этом случае rot Е = . Векторные (силовые) линии вихревого поля замкнуты сами на себя. Векторные линии невихревого поля разомкнуты, т.е. имеют истоки или стоки.

Задача 5. Рассчитать ротор поля линейных скоростей частиц вращающегося твердого тела: v = [ r], где  - вектор угловой скорости твердого тела, r – радиус-вектор частиц твердого тела.

Р ешение. Т.к. v_x = (_y z - _z y); v_y = (_z x - _x z); v_z = (_x y - _y x), то

rot_xv = = _x + _x = 2_x; rot_уv = = _y + _y = 2_y;

rot_zv = = _z + _z = 2_z . Отсюда следует:

rot v = 2 (_x i + _y j + _z k) = 2 .

Ротор векторного поля линейных скоростей частиц вращающегося твердого тела равен удвоенной угловой скорости твердого тела. Векторные линии v представляют собой окружности с центром на оси вращения (см. рис. к задаче). По правилу правого винта вектор угловая скорость  направлен по оси вращения твердого тела, т.е.  перпендикулярен плоскости, в которых лежат векторные линии скорости v. Следовательно, ротор вектора линейных скоростей v перпендикулярен вектору v (v   , т.е. v  rot v).

Задача 6. Определить ротор радиус-вектора r = xi + yj + zk.

Р ешение. В соответствии с формулой (34) и теоремой о производной обратной функции (см. стандартный курс математического анализа) имеем:

rot r = i + j + k = 0, т.к.

, , .

Векторные линии поля r = xi + yj + zk незамкнуты. По определению радиус-вектор начинается (имеет исток) в начале координат 0 и может быть продолжен до любой точки пространства (формально эту точку можно рассматривать как сток вектора r). Ротор таких векторов равен нулю. Аналогичная ситуация наблюдается, например, для вектора напряженности E электростатического поля, созданного точечной заряженной частицей.