1.3.4. Градиент как потенциальный вектор

Интеграл grad вдоль кривой L, соединяющий точки r₂ и r₁ скалярного поля, равен разности значений скалярного поля  в этих точках. Действительно, в соответствии с формулой (18), имеем:

= = (r₂)  (r₁) = (x₂, y₂, z₂)  (x₁, y₁, z₁) (19)

Таким образом, если  является однозначной функцией координат, то интеграл (19) не зависит от пути интегрирования (от формы кривой), а определяется только начальным и конечным точками кривой. Ясно, что если кривая, по которой осуществляется интегрирование, замкнутая, то интеграл (19) по замкнутому контуру равен нулю. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией. Можно показать, что если циркуляция некоторого вектора b равна нулю, то этот вектор является градиентом скалярной функции.

Вектор, который является градиентом скаляра , называется потенциальным вектором, а функция  называется потенциалом. Примерами потенциальных векторов являются центральные силы (силы вида F(r): гравитационная сила, кулоновская сила, сила упругости), которые зависят только от расстояния между взаимодействующими телами. Напомним, работа центральной силы по замкнутому контуру в стационарном потенциальном поле равна нулю A = = 0. Центральная сила представляет собой градиент некоторой скалярной функции Ф(x,y,z):

F(r) = grad Ф(x,y,z),

где функцию Ф(x,y,z) обычно называют силовой функцией. В физических приложениях более удобным является силовая функция, взятая с обратным знаком U = Ф. Функция U(x,y,z) =  Ф(x,y,z) называется потенциальной энергией взаимодействия. Потенциальная энергия взаимодействия объекта и поля в фундаментальных взаимодействиях выражается произведением заряда (электрического q, гравитационного m), помещенного в поле, на потенциал поля (x,y,z), созданного другим зарядом. Например, потенциальная энергия тела в поле силы тяжести имеет вид: U = mgh = m (x,y,z), где (x,y,z) = gh – потенциал поля силы тяжести. Итак:

F(r) =  grad U(x,y,z) =  ( + + ) =  m( + + ) . (20)

Работа центральной силы определяется криволинейным интегралом (который всегда можно свести к обыкновенному интегралу): A = = . Интеграл градиента по замкнутой кривой равен нулю. Верно и обратное: если интеграл вектора b по замкнутой кривой (контуру) равен нулю, то вектор b есть градиент некоторого скалярного поля (x,y,z). Подчеркнем еще раз: градиент grad (x,y,z) является векторной величиной, а функция (x,y,z) - скаляр.

Попутно заметим, стационарность потенциального поля U(x,y,z) математически выражается в том, что функция U(x,y,z) явно от времени не зависит, т.е. = 0. Допустим, мы имеем дело с консервативной механической системой, в которой под функцией U(x,y,z) понимается потенциальная энергия взаимодействия тел системы. Напомним, консервативным полем называется стационарное потенциальное силовое поле, т.е. поле, в котором = 0. В консервативной механической системе выполняется закон сохранения механической энергии. Условие = 0 означает, что в консервативном силовом поле нет физически выделенных моментов времени, время в таком поле однородно, что обусловливает связь закона сохранения механической энергии с однородностью времени.