1.3.3. Градиент скалярного поля.

Понятие градиента скалярного поля введем на примере потенциала электростатического поля (x,y,z) (потенциал – скалярная величина). Рассмотрим две эквипотенциальные поверхности, потенциал которых ₁ и ₂ (см. рис.7). Разность потенциалов между эквипотенциальными поверхностями не зависит от выбора точек отсчета на поверхностях: _С  _А = _В  _А = ₂  ₁ =  = const.

Рис.7. К введению понятия градиента скалярного поля

Отношение можно назвать средней скоростью изменения функции  на отрезке AC. Если поверхность ₂ приближать к поверхности ₁, то отношение стремится к пределу , который показывает быстроту изменения потенциала в точке А в направлении вектора dl. Скорость изменения потенциала максимальная в перпендикулярном направлении к поверхности ₁. На рис.7 это направление обозначено вектором ds, где модуль вектора - отрезок ds - кратчайшее расстояние между плоскостями ₁ и (₁ + d), т.е. ds перпендикулярен плоскости ₁. Заметим, что отрезок ds перпендикулярен также и плоскости (₁ + d), т.к. плоскости ₁ и (₁ + d) расположены бесконечно близко друг к другу. Градиентом скалярного поля  называется вектор, направленный в сторону быстрейшего увеличения  и равный производной по этому направлению:

grad =  = n. (14)

Здесь = n – единичный вектор в направлении ds, т.е. вектор n перпендикулярен эквипотенциальной поверхности ₁. В координатном представлении градиент имеет вид:

grad = + + . (15)

Другое обозначение градиента – , где знак  читается как «набла». В этой записи формула (15) приобретает вид: grad =  = + + . (16)

Из (16) следует, что  можно рассматривать как дифференциальный оператор:

 = + + . (17)

Оператор  можно рассматривать как вектор, точнее – символический вектор. Оператор  называют также оператором Гамильтона. Ниже еще вернемся к этому оператору.

Рассмотрим важную особенность градиента скалярного поля. Умножим скалярно градиент grad на дифференциал радиус-вектора dr, получим:

grad  dr = ( + + )  (dx i + dy j + dz k) = + + = d ,

т.к. ii = jj = kk = 1; ij = jk = ki = 0. Выражение d = + + есть полный дифференциал функции . Итак, если имеется некоторый вектор b, такой, что для произвольного dr выполняется условие

d = bdr, (18)

то вектор b обязательно является градиентом скалярного поля : b = grad.

Задача1. Пусть скалярное поле имеет вид  (r) = , где k –константа. Определить градиент этого поля. Напомним, потенциал электростатического поля точечного заряда и гравитационного поля точечной гравитационной массы имеют именно такой вид.

Решение.

Т.к. потенциал определяется только расстоянием от начала отсчета до точки поля, то эквипотенциальные поверхности - это концентрические сферы с центром в начале отсчета. Нормаль к поверхности сферы совпадает с радиус-вектором, поэтому модуль градиента равен: grad = . Имеем: =  k . Градиент направлен в сторону возрастания потенциала, т.е. при > 0 ортом градиента является n = , а при < 0 ортом является n =  . Итак, grad =  k =  k .

Этот же результат можно получить, используя формулу (14). Т.к. , r = и , то производная потенциала  по компоненте x имеет вид: = , причем =  k . Аналогично по другим компонентам. Подставив производные потенциала по компонентам в (14), получим:

grad = + + = =  k .

Воспользуемся для решения формулой (17). Имеем: =  k или d =  k dr. Т.к. r² = r² и d(r²) = 2(r dr) = 2r dr, то dr = (r dr). Имеем: d =  k dr =  k  dr. Сравнивая это выражение для d с формулой (17), приходим к выводу, что grad =  k .

Полученное решение обычно называют законом обратного квадрата. В электростатике – это закон Кулона, в ньютоновской теории гравитации – это закон всемирного тяготения.