1.2.6. Двойное векторное произведение [а[bc]]. В результате двойного векторного произведения получается вектор. Можно показать, что

[а[bc]] = b(ac)  c(ab). (10)

Здесь вначале выполняются скалярные произведения, стоящие в скобах (т.е. ac и ab), и только затем вектора b и c умножаются на соответствующие результаты скалярного произведения. В качестве мнемонического правила по запоминанию разложения двойного векторного произведения (9) можно предложить, например, следующее просторечное словосочетание, которое быстро запоминается: [а[bc]] = «бац» минус «цаб». Компоненты результата двойного векторного произведения имеют вид:

[а[bc]]_x = b_x (ac)  c_x (ab),

[а[bc]]_y = b_y (ac)  c_y (ab), (11)

[а[bc]]_z = b_z (ac)  c_z (ab).

При проведении циклической перестановки в двойном векторном произведении получаются три разных вектора, сумма которых равна нулю. Действительно, циклическая перестановка (см. левую часть соотношений) приводит к трем векторам:

[а[bc]] = b(ac)  c(ab),

[c[аb]] = a(cb)  b(ca),

[b[cа]] = c(ba)  a(bc).

Видно, что сумма правых частей равна нулю (напомним, скалярное произведение коммутативно).

1.3. Элементы векторного анализа

Предметом изучения векторного анализа являются переменные векторы - векторные функции от скалярного или векторного аргумента.

Векторные функции от скалярного аргумента.

Примером такой функции является зависимость скорости материальной точки v от времени t - функция v(t), где время t скалярный аргумент. Разумеется, скалярным аргументом может быть не только время t. Например, можно ввести векторную функцию r(l), т.е. рассматривать радиус-вектор r движущейся материальной точки как функцию от длины дуги l, отсчитанной от некоторого начального положения на траектории. В данном случае скалярным аргументом векторной функции r(l) является длина дуги l.

Дифференцирование векторной функции от скалярного аргумента. Если скалярный аргумент h некоторой векторной функции с(h) является, в свою очередь, функцией другого скалярного аргумента t, т.е. h = h(t), то

= . (12)

Если векторная функция b(t) изменяется со временем и по модулю (длине), и по направлению, т.е. если b(t) = b(t) е(t), где b(t) модуля вектора, е(t) – орт в направлении вектора b, то: = . (13)

Пример. Криволинейное движение материальной точки. В общем случае скорость изменяется и по модулю и по направлению v(t) = v(t) (t), где орт  направлен, разумеется, по вектору v. Имеем: = . Составляющая a_ = направлена по вектору скорости, т.е. по касательной к траектории и называется тангенциальным ускорением. Вектор перпендикулярен v и направлен к центру кривизны траектории, то составляющая a_n = называется нормальным ускорением. Полное ускорение a = определяется векторной суммой тангенциального a_ и нормального a_n ускорений: a = a_ + a_n.

Скалярные и векторные поля от векторного аргумента

Если физическая величина скаляр, то поле такой величины называется скалярным, если величина вектор, то поле такой величины называется векторным.

1.3.1. Скалярное поле характеризуется единственным числом - скалярной величиной (см. параграф 1.1.). Примерами скалярного поля от векторного аргумента являются температурное поле T(r), поле потенциала (r) электростатического поля и т.п. Здесь аргументом является радиус-вектор r точки пространства, в которой скалярное поле приобретает некоторое значение. В координатном представлении скалярное поле сводится к функции от координат: T(x,y,z), (x,y,z).

1.3.2. Векторное поле от векторного аргумента. Примерами векторного поля от векторного аргумента являются поле вектора напряженности электрического поля E(r), поле вектора скорости частиц воды v(r) и т.п. В координатном представлении векторное поле сводится к трем скалярным функциям. Например, поле вектора напряженности электрического поля E(r) сводится к функциям E_x(x,y,z), E_y(x,y,z), E_z(x,y,z).

Неизменное во времени поле называется стационарным, если поле изменяется с течением времени, то поле называется нестационарным. Нестационарность выражается включением времени t в набор аргументов функции: T(r,t), E(r, t) и т.п. На рисунках скалярное поле можно представить в виде поверхностей одинакового уровня скалярной величины Т(x,y,z) = const. В разных физических теориях эти поверхности называются по-разному: в электростатике поверхность одинакового потенциала называется эквипотенциальной поверхностью, поверхность одинаковой температуры называется изотермической поверхностью и т.д. Векторное поле на рисунках обозначается векторными линиями, т.е. линиями, касательные к которым в каждой ее точке совпадают с направлением векторного поля в этих точках. Векторные линии в силовых полях (электрических, магнитных, гравитационных) обычно называют силовыми линиями. На рисунке 6 показаны изотермические поверхности температурного поля T(r) и векторные линии поля потока тепла q(r). T(r) – скалярное поле от векторного аргумента r, q(r) – векторное поле от векторного аргумента r.

Рис.6. Скалярное температурное поле T(x, y, z) представлено на рисунке изотермическими поверхностями Т_i = const (показаны следы поверхностей при z = 0 в виде пунктирных линий). При Т₁> Т₂ >Т₃ >Т₄ возникает поток тепла q(x,y,z) в направлении от изотермы Т₁ к Т₄. Векторные линии показаны сплошными линиями.