3. Уравнение Пуассона и уравнение Лапласа.

Дивергенция вектора связана с источниками или стоками векторного поля. Например, для электростатического поля дивергенция вектора напряженности Е этого поля в данной точке поля определяется электрическим зарядом в рассматриваемой точке:

div E = ² = , где  - плотность электрического заряда в рассматриваемой точке. Если заряд положительный ( > 0), то рассматриваемая точка является истоком силовых линий вектора Е, если заряд отрицательный ( < 0), то стоком. Уравнение

² =  (44)

называется уравнением Пуассона. Запишем уравнение Пуассона в развернутом виде:

=  . (44*)

Уравнение Пуассона (44*) является основным уравнением в теории потенциального векторного поля.

В точках потенциального векторного поля, где стоки и истоки отсутствуют, лапласиан равен нулю:

² = 0 или = 0. (45)

Например, в электростатическом поле, созданном точечными зарядами, в точках, где заряды отсутствуют, лапласиан равен нулю.

Уравнение (45) называется уравнением Лапласа. Если скалярная функция удовлетворяет уравнению Лапласа, то такая функция называется гармонической функцией.

4. Ротор потенциального вектора.

Допустим, вектор E является потенциальным вектором. Например, пусть это вектор напряженности электростатического поля. Определим проекции ротора вектора Е на оси координат (см. формулы 34). В соответствии с (38) E_x = , E_y = , E_z = , тогда rot_xE = =  = + = 0. Аналогичные результаты получаются и для остальных двух проекций: rot_yE = 0 и rot_zE = 0. Однако если проекции ротора потенциального вектора равны нулю, то и сам ротор равен нулю:

rot E = 0. (46)

Формулу (46) с учетом (35) можно записать также в другой форме:

rot (grad) = 0 или [()] = 0 (46*)

Итак, вследствие того, что потенциальное векторное поле является невихревым (векторные линии потенциального вектора незамкнуты), ротор такого поля равен нулю (сравни с задачей 6). Из теоремы Стокса для потенциального вектора следует, что

= = 0,

т.е. циркуляция вектора по замкнутому контуру равна нулю. Криволинейный интеграл от потенциального вектора, взятый по незамкнутой кривой, будет определяться только координатами начала и конца кривой, но не зависит от формы кривой или, как говорят, не зависит от пути интегрирования.

Замечание (о теореме Стокса)

Теорема Стока требует, чтобы векторное поле существовало везде на поверхности S. Однако циркуляция требует только лишь того, чтобы векторное поле существовало вдоль замкнутого контура. Если контур ограничивает область, в котором поле не везде существует, то теорема Стокса не применима.