1.3.10. Потенциальное векторное поле. Уравнение Пуассона и уравнение

Лапласа

Напомним (пункт 1.3.4), если вектор E является градиентом некоторый скалярной функции поля (x,y,z), т.е. если E = grad =  ( + + ), то такой вектор называется потенциальным вектором. Здесь знак минус взят потому, что векторные линии обычно направлены в сторону убывания (x,y,z). Градиент скалярной функции можно и представить с использованием оператора набла  (пункт 1.3.3, формула16):

grad =  = + + .

В этом представлении вектор E принимает вид:

E = grad = . (38)

Примером потенциального вектора является напряженность электростатического поля E(x,y,z). Попутно заметим, что неявное представление векторного поля в форме E(x,y,z) можно записать более кратко в форме E(r), т.к. r = x i + y j + z k. В частности, для электростатического поля напряженность E =  grad, где (x,y,z) - скалярный потенциал поля и компоненты вектора E(r) имеют вид:

E_x = , E_y = , E_z = . (39)

Рассмотрим особенности поля потенциального вектора.

1. Из (39) следует, что потенциальное поле, характеризуемое потенциальным вектором E(r), полностью определяется одной скалярной функцией – его потенциалом (x,y,z). В случае произвольного непотенциального векторного поля требуется задание трех скалярных функций – трех проекций вектора на оси координат.

2. Дивергенция от градиента скалярного потенциала.

Дивергенция вектора (допустим, это вектор E) в некоторой заданной точке пространства P(x, y, z) имеет вид (26): div E = + + . Если в точке P(x, y, z) дивергенция вектора не равна нулю, то говорят, что в этой точке имеется исток или сток вектора E. Например, положительно заряженная материальная точка является источником электростатического поля и, соответственно, истоком вектора напряженности E этого поля, а отрицательный заряд является стоком E.

Дивергенция вектора, выраженная через проекции в форме (26), может быть представлена с использованием оператора набла  (17). Действительно, составим скалярное произведение оператора набла  на вектор Е:

Е = ( + + )(E_x i + E_y j + E_z k) = + + . Таким образом, имеем:

div E = Е. (40)

Теперь выразим дивергенцию от градиента потенциала с использованием полученных результатов. Т.к. div E = Е и E = , то

div E = () = = . (41)

Здесь оператор ² = называется оператором Лапласа, а выражение в скобках называется лапласианом от скалярной функции (x,y,z).

Лапласиан от (x,y,z) можно представить с использованием векторного оператора набла  (оператора Гамильтона). Для этого определим скалярное произведение  =²:

² = ( + + )( + + ) = . (42)

Сравнивая (41) и (42), лапласиан от (x,y,z) можно кратко записать в виде ². Выражение (41) принимает компактный вид, если использовать символическую запись оператора Лапласа (42):

div E = ². (43)