1.3.9. Теорема Стокса

Теорема Стокса утверждает (см. рис.16), что циркуляция вектора (допустим, это вектор b) по контуру L равен потоку ротора этого вектора через произвольную поверхность S, натянутому на эту поверхность (т.е. поверхность S имеет своей границей контур L) и лежащему в векторном поле b:

= или = , (37)

где: b_l – проекция вектора b на направление вектора элемента контура dl; rot_nb - проекция ротора на нормаль n к элементарной поверхности dS (dS = dS n).

Рис. 16

Подчеркнем, поток вектора rotb не зависит ни от вида контура, ни от вида поверхности, и равен циркуляции вектора b по контуру L. Важно только то, чтобы контур охватывал rotb. Если в некоторой части векторного поля b повсюду rotb = 0, то везде в этой части поля циркуляция равна нулю. Это обстоятельство наблюдается, например, при условии, если контур не охватывает проводник с током. В этом случае, магнитное поле данного тока не вносит вклад в циркуляцию по контуру. На рис. 11 ток I₄ не вносит вклад в циркуляцию по контуру L, тогда как циркуляции токов I₁, I₂, I₃ по контуру не равны нулю:

= ₀ (I₁ - I₂ + I₃) = _{0 .}

Заметим, проекция вектора плотности тока j₂ на рис. 11 на нормаль к поверхности S отрицательна.

Замечание

(о причинно-следственных связях, формализованных уравнениями физики)

Законы физики выражаются языком математики в виде уравнений связи между характеристиками физической системы (примерами являются закон силы тяготения F = , уравнение состояния идеального газа pV = и т.п.) или в виде динамических уравнений, т.е. уравнений эволюции физической системы, связывающих состояния физической системы в разные моменты времени (второй закон Ньютона m = F(x, v_x), уравнение Максвелла, например, rot Е = и т.п.). Уравнения связи и динамические уравнения математически моделируют состояние, изменение состояния и причинно-следственные связи в физической системе, которые следует четко для себя уяснить. В частности, следует уяснить, какая величина в уравнении характеризует причину описываемого явления, какая - следствие.

В приведенных выше уравнениях Максвелла именно ротор вихревого (соленоидального) вектора является источником этого вихревого вектора, а не наоборот, т.е. не вихревой вектор порождает ротор, а ротор порождает вихревой вектор. Физическое содержание уравнения rot B = ₀j + ₀₀ заключается в том, что и j порождают вихревой вектор – индукцию магнитного B. Именно изменяющееся во времени электрическое поле и электрический ток порождают вихревое магнитное поле. Уравнения rot Е = говорит о том, что порождает вихревой вектор – напряженность вихревого электрического поля Е, т.е. именно изменяющееся во времени магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.

В задаче №5 ситуация иная: можно считать, что именно вектор линейной скорости частиц v вращающегося твердого тела порождают ротор этой скорости – угловую скорость : rot v = 2.